点到直线的距离
共1963题

· 点到直线的距离

点到直线的距离
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题型：简答题

简答题

已知抛物线C：与圆：有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线上。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设是异于且与及都切的两条直线，的交点为，求到的距离。

正确答案

解：（1）设，对求导得，故直线的斜率，

当时，不合题意，

所心

圆心为，的斜率

由知，即，

解得，故

所以。

（2）设为上一点，则在该点处的切线方程为

即若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，

即，化简可得

求解可得

抛物线在点处的切线分别为，

其方程分别为①

②

③

②-③得，

将代入②得，

故所以到直线的距离为。

题型：填空题

填空题

曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是______．

正确答案

因为直线2x-y+3=0的斜率为2，

所以令y′==2，解得：x=1，

把x=1代入曲线方程得：y=0，即曲线上过（1，0）的切线斜率为2，

则（1，0）到直线2x-y+3=0的距离d==，

即曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是．

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知圆心为P的动圆与直线y=-2相切，且与定圆x2+（y-1）2=1内切，记点P的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）设斜率为2的直线与曲线E相切，求此时直线到原点的距离．

正确答案

（1）设圆心P（x，y），∵圆P与直线y=-2相切，∴圆P的半径R=|y+2|．

又∵原P与定圆x2+（y-1）2=1内切，

∴|y+2|-1=}FP|，∴|y+1|=|FP|，

∴点P到定直线y=-1与到定点F（0，1）的距离相等，

∴点P的轨迹是抛物线x2=4y．即曲线E的方程为x2=4y．

（2）设斜率为2的直线与曲线E相切于点M（x0，y0）．

由曲线E的方程为x2=4y，∴y′=，∴切线的斜率为，

∴=2，即x0=4，∴y0==8，

∴切点为(4，8)．

∴切线方程为y-8=2(x-4)，化为2x-y-8=0．

∴原点到此切线的距离d==．

题型：简答题

简答题

已知曲线Cn：y=nx2，点Pn（xn，yn）（xn>0，yn>0）是曲线Cn上的点（n=l，2，…）。

（I）试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；

（Ⅱ）若原点O（0，0）到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标（xn，yn）；（Ⅲ）设m与k为两个给定的不同的正整数，xn与yn是满足（Ⅱ）中条件的点Pn的坐标，

证明：（s=1，2，…）。

正确答案

解：（Ⅰ）∵（nx2）'=2nx

∴曲线Cn过点Pn（xn，yn）的切线ln的方程为y-nx2=2nxn（x-xn）

即2nxnx-y-nxn2=0

令x=0，得y=-nx2∴Qn的坐标为（0，-nx2）；

（Ⅱ）原点D（0，0）到ln的距离为

即时，取的最大值

故所求点Pn的坐标为；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，于是

现证明

故问题得证。

题型：填空题

填空题

点P是曲线y=ex上任意一点，则点P到直线y=x的最小距离为______．

正确答案

y'=ex，令y'=ex=1，得x=0，故P（0，1）

点P到直线y=x的最小距离为 =

故答案为：

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