热门试卷

（1）当a=1时，，

可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，

最小值为，

要使∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，

故实数m的取值范围是

（2）已知函数。

若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，

等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，

即恒成立。

设。

即g（x）的最大值小于0.

（1）当时，，

∴为减函数。

∴g（1）=﹣a﹣≤0

∴a≥﹣

∴

（2）a≥1时，。

为增函数，

g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件。

（3）当时，g（x）在上为减函数，在上为增函数，

同样最大值可无穷大，不满足题意，综上，实数a的取值范围是。

解：（1）∵      0≤x≤5，∴，…

∴    ，

当，即x=1时，，

f（x）取得最大值2；

当，即x=5时，

，f（x）取得最小值﹣1。

因此，点A、B的坐标分别是A（1，2）、B（5，﹣1），

∴，

（2）∵点A（1，2）、B（5，﹣1）分别在角α、β的终边上，

∴tanα=2，，

∵，

∴， 

（1）散点图如图所示，

=

=93，

=

=90，

（1），

，

.

要使函数在其定义域内为单调函数，则在定义域内，

① 当时，在定义域内恒成立，

此时函数在其定义内为单调递减函数，满足题意；

②当时，要使恒成立，则，解得；此时函数在其定义内为单调递增函数，满足题意；

③ 当时，恒成立；此时函数在其定义内为单调递减函数，满足题意；

综上所述，实数的取值范围是；

（2）由题意知，可得，解得，所以

于是，下面用数学归纳法证明成立，数学归纳法证明如下：

（i）当时，，不等式成立；

（ii）假设当时，不等式成立，即成立，

则当时，，

所以当时，不等式也成立，

由（i）（ii）知时都有成立

（3） 由（2）得

，（）

于是， （）成立，

所以，，成立

累乘可得：，则成立，（）

所以.

（1）设点（x0，y0）为直线y=2x﹣2与曲线y=g（x）的切点，则有2lnx0+bx0=2x0﹣2①

∵，∴②

由②得，2x0﹣2=bx0，代入①得x0=1，所以b=0，则g（x）=2lnx。

由f（x）≥g（x），即，整理得，

∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x2﹣2xlnx恒成立。

设h（x）=x2﹣2xlnx，，

∵，∴当x≥1时，h''（x）≥0，则h'（x）是增函数，

∴h'（x）≥h'（1）=0，∴h（x）是增函数，则h（x）≥h（1）=1，∴a≤1。

又a＞0，因此，实数a的取值范围是0＜a≤1.

（2）当a=1时，，∵，∴f（x）在[e，3]上是增函数，

f（x）在[e，3]上的最大值为。

要对[e，3]内的任意k个实数x1，x2，…，xk，都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk﹣1）≤16g（xk）成立，

必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，∵当x1=x2=…=xk﹣1=3时不等式左边取得最大值，

xk=e时不等式右边取得最小值，∴（k﹣1）f（3）≤16g（3），即，解得k≤13。

因此，k的最大值为13.

（3）证明：1°当n=1时，左边=，右边=ln3，

根据（1）的推导有，x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x），即。

令x=3，得，即。

因此，n=1时不等式成立，

2°假设当n=k时不等式成立，即，

则当n=k+1时，，

要证n=k+1时命题成立，即证，

即证。

在不等式中，令，得。

∴n=k+1时命题也成立，

综上所述，不等式对一切n∈N*成立。