点到直线的距离
共1963题

· 点到直线的距离

点到直线的距离
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题型：填空题

填空题

如图所示，水平地面上有一个大球，现作如下方法测量球的大小：用一个锐角为600的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，P为三角板与球的切点，如果测得PA＝5，则球的表面积为____________

正确答案

300π.

试题分析：连接OA，∵AB与AD都为圆O的切线，

∴∠OPA=90°，∠ODA=90°，

∵∠BAC=60°，∴∠PAD=120°，

∵PA、AD都是⊙O的切线，∴∠OAP=∠PAD=60°，

在Rt△OPA中，PA=5cm，tan60°=，则OP=APtan60°=5cm，即⊙O的半径R为5cm．

则球的表面积S=4πR2=4π•(5)2=300π．

故答案为300π

点评：中档题，一般地，见了有切线，应把圆心切点连，构造直角三角形解决问题，其中切线长定理为：经过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且此点与圆心地连线平分两切线的夹角，灵活运用此定理是本题的突破点．

题型：简答题

简答题

（1）证明不论取何值，直线与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆截得的弦长最短时的方程和最短弦长

正确答案

(2)

证明：直线方程为

解方程组，得，即直线恒过定点A（3，1）

，点A在圆C内，从而直线与圆恒交于两点

（2）当弦长最短时，直线，又

此时直线的方程为，此时弦长为

题型：简答题

简答题

(13分) 如图，圆O的直径AC＝8cm，直线l与圆相切于点A，P为圆的右半圆弧上的动点，PB⊥直线l于B，求△PAB面积的最大值.

正确答案

Smax＝6cm2.

略

题型：简答题

简答题

已知直线所经过的定点F，直线:与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.

（1）求点F和圆C的方程；

（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；

（3）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

正确答案

解（1）（1）由,得,

则由,解得 …………………2分

，得：，，

又圆C过原点，所以圆C的方程为．………………………………4分

（2）由题意，得，代入，得，

所以的斜率为，的方程为， …………………8分

（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）

所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为．

故直线被圆C截得弦长为7．…………………………………………………………10分

（3）设，，则由，得，

整理得①，…………………………12分

又在圆C：上，所以②，

②代入①得， …………………………14分

又由为圆C 上任意一点可知，解得．

所以在平面上存在一点P，其坐标为． …………………………16分

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分13分）已知直线经过点A，求：（1）直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）直线与两坐标轴的正向围成三角形面积最小时的直线方程；（3）求圆关于直线OA对称的圆的方程。

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ) （Ⅲ）

（1）若直线的截距为，则直线方程为；若直线的截距不为零，则可设直线方程为：，由题设有，所以直线方程为：，

综上，所求直线的方程为。

（2）设直线方程为：，，而面积，

又由　得　，w等号当且仅当成立，

即当时，面积最小为12 所求直线方程为

(3)　由题可知直线OA的方程为又由圆，知圆心为,半径为.

设圆心关于直线OA的对称点坐标为,由解得　,

故所求圆的方程为　

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