点到直线的距离_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，

（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；

（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离。

正确答案

解：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，

∴点P坐标为（2，2），

由， ① 得y′=x，

∴过点P的切线的斜率=2，直线l的斜率kl=，

∴直线l的方程为y-2=-(x-2)，即x+2y-6=0；

（Ⅱ）设，则，

∵过点P的切线斜率=x0，当x0=0时不合题意，x0≠0，

∴直线l的斜率kl=，

直线l的方程为，②

联立①②消去y，得，

设，

∵M是PQ的中点，

∴，

消去x0，得就是所求的轨迹方程，

由x≠0知，

∴，

上式等号仅当即时成立，

所以点M到x轴的最短距离是。

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题型：填空题

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填空题

定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2+a到直线l：y＝x的距离等于C2：x2+（y+4）2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝（）。

正确答案

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题型：简答题

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简答题

如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：=2px（P＞0）的准线的距离为。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。

（1）求p，t的值。

（2）求△ABP面积的最大值。

正确答案

解：（1）由题意得，得。

（2）设，线段AB的中点坐标为

由题意得，设直线AB的斜率为k（k）

由，得，

得

所以直线的方程为，

即

由，整理得，

所以，，

从而得，

设点P到直线AB的距离为d，则，

设ABP的面积为S，则

由，得.令，，

则

设，，

则

由，得，

所以，

故ABP的面积的最大值为。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0）的左，右焦点为F1、F2，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设=λ。

（1）证明：λ=1-e2；

（2）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形。

正确答案

解：（1）因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，

所以A、B的坐标分别是

由得

这里

所以点M的坐标是（）

由得

即，解得。

（2）因为PF1⊥l，

所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，

要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，

即

设点F1到l的距离为d，由

得

所以

于是

即当时，△PF1F2为等腰三角形。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0）的左，右焦点为F1、F2，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设=λ。

（1）证明：λ=1-e2；

（2）若λ=，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；

（3）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形。

正确答案

解：（1）因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是

由得

这里

所以点M的坐标是（）

由得

即，解得。

（2）当时，，所以

由△MF1F2的周长为6，得

所以

椭圆方程为。

（3）因为PF1⊥l，

所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，

要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即

设点F1到l的距离为d，由

得

所以，于是

即当，△PF1F2为等腰三角形。

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正确答案

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