- 点到直线的距离
- 共1963题
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A。某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。
正确答案
解：（1）如图，AB=40
由于
所以cosθ=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为
（2）如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2），C（x1，y2），BC与x轴的交点为D
由题设有x1=y1=
x2=ACcos
y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=
直线的方程为y=2x-40
又点E（0，-55）到直线的距离d=
所以船会进入警戒水域。
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域？并说明理由。
正确答案
解：（1）如图，
由于0°＜θ＜90°，
所以
由余弦定理得
所以船的行驶速度为
（2）如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B，C的坐标分别是 B（x1，y1），C（x2，y2），BC与x轴的交点为D
由题设有
所以过点B、C的直线l的斜率
直线l的方程为y=2x-40
又点E（0，-55）到直线l的距离
所以船会进入警戒水域。
如图：直线y=
（1）求点Q的坐标；
（2）当点P为抛物线上且位于线段AB下方（含点A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值。
正确答案
解：（1）联立
解得
即A（-4，-2），B（8，4）
∵
∴QM⊥AB
又
∴M是AB的中点，即M（2，1）
∴l是线段AB的垂直平分线
又kAB=
∴l的方程为y-1=-2（x-2），
即2x+y-5=0，令y=-5，得x=5，
∴Q=（5，-5）。
（2）直线OQ的方程为：x+y=0
由题意可设P
则点P到直线OQ的距离为：
又
∴
其中x∈[-4，8]，且O、P、Q不共线，
令f（x）=（x+4）2-48，
则当x∈[-4，8]时，函数f（x）单调递增
又当x=-4时，|x2+8x-32|=48，
当x=8时，|x2+8x-32|=96
∴当x=8时，（S△QPO）max=
椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点。
（1）若
（2）求四边形AEBF面积的最大值。
正确答案
解：（1）依题设得椭圆的方程为
直线
如图，设
其中
且
故
由
得
由D在AB上知
所以
化简得
解得
（2）根据点到直线的距离公式和①式知，点
又
所以四边形
当
所以S的最大值为
若椭圆
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；
（3）求
正确答案
解：（1）由题意得
∴
所以椭圆的方程为
（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6）时，弦PQ最大，因为直线PA的斜率一定存在
设直线PA的方程为：y-6=k（x-8）
又因为PA与圆O相切
所以圆心
即
可得直径PA的方程为
（3）设
则
则
∵
∴
∴
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