- 不等式和绝对值不等式
- 共3272题
若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围是__________.
正确答案
因为|3x-b|<4,所以,所以
.
若不等式在
上的解集非空,则实数
的取值范围是
正确答案
略
已知函数=
.
(Ⅰ)当时,求不等式
≥3的解集;
(Ⅱ) 若≤
的解集包含
,求
的取值范围.
【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法,是简单题.
正确答案
1。{|
≤1或
≥8} 2。[-3,0]
(Ⅰ)当时,
=
,
当≤2时,由
≥3得
,解得
≤1;
当2<<3时,
≥3,无解;
当≥3时,由
≥3得
≥3,解得
≥8,
∴≥3的解集为{
|
≤1或
≥8};
(Ⅱ) ≤
,
当∈[1,2]时,
=
=2,
∴,有条件得
且
,即
,
故满足条件的的取值范围为[-3,0]
(12分)设函数f(x)= (1)解不等式f(x)
(2)若不等式f(x)
对x
R恒成立,求实数a的取值范围
正确答案
略
不等式的解集为__________.
正确答案
略
对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,试求实数x的取值范围.
正确答案
由题知,|x-1|+|x-2|≤ 恒成立,故|x-1|+|x-2|小于或等于
的最小值.
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,当且仅当 (a+b)(a-b)≥0 时取等号,
∴ 的最小值等于2,∴x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解.
由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,又由于数轴上的、
对应点到
1和2对应点的距离之和等于2,故不等式的解集为[,
],
故答案为[,
].
如果关于x的不等式|x-2|+|x+3|≥a的解集为R,则a的取值范围是______.
正确答案
|x-2|+|x+3|表示数轴上的x对应点到2和-3对应点的距离之和,其最小值等于5,故当a≤5时,
关于x的不等式|x-2|+|x+3|≥a的解集为R,
故答案为:(-∞,5].
对于,不等式
的解集为
正确答案
试题分析:根据题意,由于,不等式
等价于2x-3
3+x,或者2x-3
-3-x,最后解得结论为x的范围是
。故答案为
。
点评:主要是考查了绝对值不等式的求解,属于基础题。
(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数,其中
.
(I)当a=1时,求不等式的解集.
(II)若不等式的解集为{x|
,求a的值.
正确答案
(Ⅰ)或
. (Ⅱ)
。
(I)当a=1时,不等式转化为,此不等式易解.
(II)解本小题关键是把 转化为
,然后再讨论去绝对值转化为
或
即
或
求解.
解:(Ⅰ)当时,
可化为
.由此可得
或
.
故不等式的解集为
或
.…………5 分
(Ⅱ) 由 得
此不等式化为不等式组
或
即
或
因为,所以不等式组的解集为
由题设可得=
,故
…………10分
设函数f(x)的定义域为,其图像如下图,那么不等式
的解集为 。
正确答案
略
已知命题p:|x-2|<a(a>0),命题q:|x2-4|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .
正确答案
命题p:|x-2|<a(a>0),即2-a<x<2+a.
命题q:|x2-4|<1,即 <x<
,或-
<x<-
.
由题意得,命题p成立时,命题q一定成立,但当命题q成立时,命题p不一定成立.
∴2-a≥,且2+a≤
,a>0.解得 0<a≤
-2,
故答案为(0,-2].
选做题(考生注意:请在(1)(2)两题中,任选做一题作答,若多做,则按(1)题计分)
(1)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为______.
(2)(不等式选讲选做题)若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为∅,则实数a的取值范围为______.
正确答案
(1)直线ρsin(θ+)=2 即
ρsinθ+
ρcosθ=2,化为普通方程为
x+
y -4 = 0.
圆ρ=4 化为普通方程为 x2+y2=16,圆心(0,0)到直线的距离等于 =2,
故所求的弦长为 2=4
.
故答案为:4.
(2)|x-2|+|x+3|表示数轴上的 x 到-3和2的距离之和,故其最小值为5,不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为∅,
等价于a≤5,即实数a的取值范围为 (-∞,5].
故答案为:(-∞,5].
不等式|x+|≥|a-2|+siny对一切非零实数x,y均成立,则实数a的范围为______.
正确答案
∵x+∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
∴|x+|∈[2,+∞),其最小值为2
又∵siny的最大值为1
故不等式|x+|≥|a-2|+siny恒成立时,
有|a-2|≤1
解得a∈[1,3]
故答案为[1,3]
已知U=R且A={x|x2﹣5x﹣6<0},B={x||x﹣2|≥1},求
(1)A∩B;
(2)A∪B;
(3)(CUA)∩(CUB).
正确答案
解:A={x|x2﹣5x﹣6<0}=(﹣1,6)
B={x||x﹣2|≥1}={x|x≥3,或x≤1},
(1)A∩B={x|﹣1<x≤1,或3≤x<6}
(2)A∪B=R
(3)∵U=R,∴CUA={x|x≤﹣1,或x≥6}
同理CUB={x|1<x<3}.
∴(CUA)∩(CUB)=Φ.
设命题p:|4x-3|≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是______.
正确答案
解|4x-3|≤1,得≤x≤1. 解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0. 得a≤x≤a+1.
因为┐p是┐q的必要而不充分条件,所以,q是p的必要不充分条件,
即由命题p成立能推出命题q成立,但由命题q成立不推出命p成立.
∴[,1]⊊[a,a+1].
∴a≤且a+1≥1,得0≤a≤
.
∴实数a的取值范围是:[0,].
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