热门试卷

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f′（1）=f′（﹣1）=0，解得a=1，b=0．

∴f（x）=x3﹣3x

（2）∵f（x）=x3﹣3x，

∴f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，

故f（x）在区间[﹣1，1]上为减函数，fmax（x）=f（﹣1）=2，fmin（x）=f（1）=﹣2

∵对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，

都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|

|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|=2﹣（﹣2）=4

（3）f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

∵曲线方程为y=x3﹣3x，

∴点A（1，m）不在曲线上．设切点为M（x0，y0），

切线的斜率为（左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），整理得2x03﹣3x02+m+3=0．

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，

下研究方程解有三个时参数所满足的条件设g（x0）=2x03﹣3x02+m+3，

则g′（x0）=6x02﹣6x0，由g′（x0）=0，得x0=0或x0=1．

∴g（x0）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．

∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的极值点为x0=0，x0=1

∴关于x0方程2x03﹣3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是，解得﹣3＜m＜﹣2．故所求的实数a的取值范围是﹣3＜m＜﹣2．

解：（Ⅰ）由题设知：，

不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

，或，或

解得函数的定义域为； 

（Ⅱ）不等式即，

∵x∈R时，恒有

∵不等式解集是R，∴a+8≤3

∴a的取值范围是．       

解：（1）∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则在（﹣∞，0）也单调递增

∵f（1）=﹣f（﹣1）=0

∴f（﹣1）=0

当x＞1或﹣1＜x＜0时，f（x）＞0；

当0＜x＜1或x＜﹣1时，f（x）＜0

∵f（1+logax）＞0

∴1+logax＞1或﹣1＜1+logax＜0

∵0＜a＜1

∴0＜x＜1或a﹣1＜x＜2﹣2

（2）∵f（﹣2）=﹣1

∴f（2）=﹣f（﹣2）=1

∵m＞0，n＞0时，恒有f（mn）=f（m）+f（n），

∴f（4）=2f（2）=2，f（﹣4）=﹣2，f（1）=2f（1），

则f（1）=﹣f（﹣1）=0

∵|f（t）+1|＜1

∴﹣2＜f（t）＜0

∴﹣4＜t＜﹣1

（1）当a=1时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，

两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤-1或x≥-，

∴原不等式的解集为（-∞，-1]∪[-，+∞）…（5分）

（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a-1≥|2x+1|-|x|，

令h（x）=|2x+1|-|x|，则 h（x）=…（7分）

故h（x）min=h（-）=-，从而所求实数a的范围为a-1≥-，即a≥…（10分）

（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），

则即

∵点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上

∴-y=x2-2x，即y=-x2+2x，故g（x）=-x2+2x

（Ⅱ）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得2x2-|x-1|≤0

当x≥1时，2x2-x+1≤0，此时不等式无解．

当x＜1时，2x2+x-1≤0，解得-1≤x≤．

因此，原不等式的解集为[-1，]．

（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）x2+2（1-λ）x+1

①当λ=-1时，h（x）=4x+1在[-1，1]上是增函数，∴λ=-1

②当λ≠-1时，对称轴的方程为x=．

ⅰ）当λ＜-1时，≤-1，解得λ＜-1．

ⅱ）当λ＞-1时，≥-1，解得-1＜λ≤0．综上，λ≤0．

（Ⅰ）不等式f（x）+a-1＞0即为|x-2|+a-1＞0，

当a=1时，解集为x≠2，即（-∞，2）∪（2，+∞）；

当a＞1时，解集为全体实数R；

当a＜1时，解集为（-∞，a+1）∪（3-a，+∞）．

（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x-2|＞-|x+3|+m对任意实数x恒成立，

即|x-2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）

又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，于是得m＜5，

故m的取值范围是（-∞，5）．

解：（1）y=4|x-10|+6|x-20|，0≤x≤30。

（2）依题意，x满足

解不等式组，其解集为[9，23]

所以x∈[9，23]。

解：(Ⅰ)由于，则函数y=f（x）的图象如图所示，

(Ⅱ)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知，

当且仅当a≥或a＜-2时，函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点，

故不等式f(x)≤ax的解集非空时，a的取值范围为（∞，-2）∪。

解：（1）当时，

（2）解集为。

解：（1）由于f（x）=

则函数y=f（x）的图象如图所示

；

（2）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，当且仅当a≥或a<-2时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点，故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（-∞，-2）∪。

解：（1）y=4|x-10|+6|x-20|，0≤x≤30；

（2）依题意，x满足

解不等式组得9≤x≤23，即x∈[9，23]。