热门试卷

解：（Ⅰ）f（x）+f（-x）=2x2，

当x ≥0时，；

当x＜0时，；

∴集合C=[-1 ，1] 。

（Ⅱ），

令ax=u，

则方程为h（u）=u2-（a-1）u-5=0，h（0）=-5，

当a＞1时，，h（u）=0在上有解，

则；

当0＜a＜1时，，g（u）=0在上有解，

则；

∴当或a≥5时，方程在C上有解，且有唯一解。

（Ⅲ），g′（x）=3x2-3t，

①当t≤0时，g′（x）≥0，函数在x∈[0，1]单调递增，

∴函数g（x）的值域，

，

∴，解得，即；

②当t ≥1，g′（x ）≤0 ，函数g（x）在区间[0，1] 单调递减，

，

∴，

又t≥1，

所以t≥4；

③当0＜t＜1时，令g′（x）=0得（舍去负值），

当时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0，

∴函数g（x）在单调递增，在单调递减，g（x）在达到最小值；

要使，则，无解；

综上所述：t的取值范围是。

解：（1）∵函数f（x）过点

∴ ①

又，函数在点处的切线方程为

∴

∴ ②

由①和②解得，，

故；

（2）由（1），令

解得

∴，，，

∴在区间上，

∴对于区间上任意两个自变量的值

∴

从而t的最小值为20；

（3）∵

则

可得

∵当时，

∴，，

∴

∴，故a的最大值为

当时，解得，

∴a取得最大值时。

解：（Ⅰ）由题意得|x2-1|<3，即-32-1<3

解得-2

∴x的取值范围是（-2，2）；

（Ⅱ）证明：当a、b是不相等的正数时，a3+b3-（a2b+ab2）=（a-b）2（a+b）>0

又

则

于是

接近；

（Ⅲ）由|1-sinx|< |1+sinx|得1-sinx<1+sinx，即sinx>0，则2kπ

同理，若|1+sinx|< |1-sinx|，则2kπ+π

于是，函数f（x）的解析式是

函数f（x）的大致图象如下：

函数f（x）的最小正周期T=π

函数f（x）是偶函数

当时，函数f（x）取得最小值0

函数f（x）在上单调递减；

在上单调递增。

解：（1）当a=3时，，

即，

∴，

当时，化简，得，解得：；

当时，化简，得，不等式不成立；

当时，化简，得，解得：，

∴不等式的解集为或。

（2），

∴，

∴若原不等式解集为R，则。

（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x-2|＞5，

不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：

，或，或，

解得函数f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（3，+∞）；

（2）不等式f（x）≥1即|x+1|+|x-2|＞m+2，

∵x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，

不等式|x+1|+|x-2|＞m+2解集是R，

∴m+2＜3，m的取值范围是（-∞，1）．

故答案为（-∞，1）．

解：（Ⅰ）∵，

∴要解的不等式可化为，

∴或或，

∴或，

∴不等式的解集为。

（Ⅱ）由消去y，得，

解得：，，

∴所求图形的面积为。

解：（Ⅰ）当=-2，b=-8时，对一切x∈R，

恒成立。

（Ⅱ）恒成立，

∴当x=-2或x=4时成立，此时|2x2-4x-16|=0，

即，

得，满足题意的、b的值仅此一对。

（Ⅲ），

即，

即，

∵x>2，

∴恒成立，

（当x=3时，等号成立），

∴m≤2。

（I）证明：当x≤2时，f（x）=2-x-（5-x）=-3；

当2＜x＜5时，f（x）=x-2-（5-x）=2x-7，所以-3＜f（x）＜3；

当x≥5 时，f（x）=x-2-（x-5）=3．

所以-3≤f（x）≤3．…（5分）

（II）由（I）可知，当x≤2时，f（x））≥x2-8x-8x+15，等价于-3≥x2-8x+15，等价于（x-4）2+2≤0，解集为∅．

当2＜x＜5时，f（x）≥x2-8x-8x+15，等价于2x-7）≥x2-8x-8x+15，即 x2-10x+22≤0，解得 5-≤x≤5+，故不等式的解集为{x|5-≤x＜5}．

当x≥5时，f（x））≥x2-8x-8x+15，等价于x2-8x+12≤0，解得2≤x≤6，

∴不等式的解集为 {x|5≤x≤6}．

综上，不等式的解集为{x|5-≤x≤6}．…（10分）

（1）由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a，

∴a-6≤2x-a≤6-a，即a-3≤x≤3，

∴a-3=-2，

∴a=1．（5分）

（2）由（1）知f（x）=|2x-1|+1，令φ（n）=f（n）+f（-n），

则φ（n）=|2n-1|+|2n+1|+2=

∴φ（n）的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．（10分）

解答：解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，

变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，

显然，x=1已是该方程的根，

从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，

有且仅有一个等于1的解或无解，

结合图形得a＜0．

（2）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，

①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；

②当x≠1时，（*）可变形为，令

因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，

所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．

综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．

（3）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2﹣1|+a|x﹣1|=

 当时，结合图形可知h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，

且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，

经比较，此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3．

当时，

结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]，上递减，

在，[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，

经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3．

当时，

结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]14，15上递减， 在，[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，

经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3．

当时，

结合图形可知h（x）在，上递减， 在，上递增，

且h（﹣2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，

经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3．

当时，结合图形可知h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，

故此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为h（1）=0．

综上所述，当a≥0时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3；

当﹣3≤a＜0时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3；

当a＜﹣3时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为0．

（1）原不等式|x-3|+|x-4|＜2

当x＜3时，原不等式化为7-2x＜2，解得x＞，∴＜x＜3

当3≤x≤4时，原不等式化为1＜2，∴3≤x≤4

当x＞4时，原不等式化为2x-7＜2，解得x＜，∴4＜x＜

综上，原不等式解集为{x|＜x＜}；（5分）

（2）法一、作出y=|x-3|+|x-4|与y=a的图象，

若使|x-3|+|x-4|＜a解集为空集只须y=|x-3|+|x-4|图象在y=a的图象的上方，

或y=a与y=1重合，∴a≤1

所以，a的范围为（-∞，1]，（10分）

法二、：y=|x-3|+|x-4|=

当x≥4时，y≥1

当3≤x＜4时，y=1

当x＜3时，y＞1

综上y≥1，原问题等价为a≤[|x-3|+|x-4|]min∴a≤1（10分）

法三、：∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，

当且仅当（x-3）（x-4）≤0时，上式取等号

∴a≤1．

（1）解：若2x﹣1比3接近0，则有|2x﹣1﹣0|＜|3﹣0|，

∴|2x﹣1|＜3，即﹣3＜2x﹣1＜3，

解得﹣1＜x＜2，故x的取值范围为 （﹣1，2）．

（2）证明：对任意两个不相等的正数a、b，，

有a2b+ab2 ＞，，即．

又因为|a2b+ab2 ﹣|﹣||

=ab（a+b）﹣﹣（a3+b3）+

=ab（a+b）﹣（a+b）（a2+b2﹣ab）

=﹣（a+b）（a﹣b）2＜0，

所以，|a2b+ab2 ﹣|＜||，

即a2b+ab2比a3+b3接近．

解：∵|a+1|+|a-1|＞0，

对于，不等式（|a+1|+|a-1|）f（x）≥|4a|恒成立恒成立，

只需f（x）不小于的最大值，

∵|a+1|+|a-1|≥|（a+1）+（a-1）|=|2a|＞0，

当且仅当（a+1）（a-1）≥0，即|a|≥1时取等号，

故，即的最大值为2，

∴根据题意有|x|+|x+1|≥2，①

当x＜-1时，①可化为-x-x-1≥2，解得；

当-1≤x＜0时，①可化为-x+x+1≥2，解得x∈；

当x≥0时，①可化为x+x+1≥2，解得；

综上，或。