- 不等式和绝对值不等式
- 共3272题
解不等式：x+|2x-1|＜3。
正确答案
解：原不等式等价于：x-3＜2x-1＜3-x，
∴
选做题
已知
正确答案
解：
即 
不等式|x+2|+|x-1|≤4的解集是______．
正确答案
令f（x）=|x+2|+|x-1|，
则f（x）=
∴当x≤-2时，|x+2|+|x-1|≤4⇔-2x-1≤4，
∴-
当-2＜x＜1时，有3≤4恒成立，
当x≥1时，|x+2|+|x-1|≤4⇔2x+1≤4，
∴1≤x≤
综上所述，不等式|x+2|+|x-1|≤4的解集为[-
故答案为：[-
若关于x的不等式|x-3|+|x+1|＞a的解集为R，则实数a的取值范围是______．
正确答案
令f（x）=|x-3|+|x+1|，
则f（x）=|x-3|+|x+1|≥|（x-3）-（x+1））|=4，
∴f（x）min=4．
∵|x-3|+|x+1|＞a的解集为R⇔a＜f（x）min恒成立，
∴a＜4，即实数a的取值范围是（-∞，4）．
故答案为：（-∞，4）．
如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集为空集，则实数b的取值范围为______．
正确答案
|x-4|-|x+5|的几何意义就是数轴上的点到4的距离与到-5的距离的差，差的最大值为9，如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集为空集，则实数b的取值范围为b＞9；
故答案为：b＞9．
解不等式：
（|3x-1|-1）（sinx-2）＞0。
正确答案
解：因为对任意
即
故解为
所以原不等式的解集为
若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k=______．
正确答案
∵|kx-4|≤2，
∴（kx-4）2≤4，即k2x2-8kx+12≤0，
∵不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，
∴1和3是方程k2x2-8kx+12=0的两根，
∴1+3=
∴k=2．
故答案为2．
已知函数f（x）=|x-4|+|x+5|．
（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）因为f（x）=|x-4|+|x+5|≥|（x-4）+（x+5）|=|2x+1|，
当且仅当（x-4）（x+5）≥0，即x≤-5或x≥4时取等号．
所以若f（x）=|2x+1|成立，则x的取值范围是（-∞，-5]∪[4，+∞）．
（Ⅱ）因为f（x）=|x-4|+|x+5|≥|（x-4）-（x+5）|=9，
所以若关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，则a＞f（x）min=9，
即a的取值范围是（9，+∞）．
解不等式|2x-1|＜|x|+1．
正确答案
根据题意，对x分3种情况讨论：
①当x＜0时，原不等式可化为-2x+1＜-x+1，
解得x＞0，又x＜0，则x不存在，
此时，不等式的解集为∅．
②当0≤x＜
解得x＞0，又0≤x＜
此时其解集为{x|0＜x＜
③当x≥
又由x≥
此时其解集为{x|
∅∪{x|0＜x＜
综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．
解不等式|x﹣1|+|x+2|≤5．
正确答案
解：①当x≤﹣2时，原不等式可以化为﹣（x﹣1）﹣（x+2）≤5
解得x≥﹣3，
所以解集为[﹣3，﹣2]
②当﹣2＜x＜1时，原不等式可以化为﹣（x﹣1）+（x+2）≤5
解得R，所以解集为（﹣2，1）
③当x≥1时，原不等式可以化为（x﹣1）+（x+2）≤5
解得x≤2，
所以解集为[1，2]
综上可得，原不等式的解集是[﹣3，2]
若|x-4|+|x+5|＞a对于x∈R均成立，则a的取值范围为______．
正确答案
∵|x-4|+|x+5|=|4-x|+|x+5|≥|4-x+x+5|=9，故|x-4|+|x+5|的最小值为9．
再由题意可得，当a＜9时，不等式对x∈R均成立．
故答案为 （-∞，9）．
解不等式|2x+1|-|x-4|＞2。
正确答案
解：令
作出函数
它与直线y=2的交点为
所以，
不等式3＜|5-2x|≤9的解集是______．
正确答案
不等式3＜|5-2x|≤9 等价于 
解得-2≤x＜1，或 4＜x≤7，
故不等式的解集为[-2，1）∪（4，7]，
故答案为[-2，1）∪（4，7]．
（选做题）
解不等式：|2x+1|﹣|x﹣4|＜2．
正确答案
解：当x≥4时，2x+1﹣x+4＜2，解得x＜﹣3（舍去）；
当﹣
∴﹣
当x＜﹣
∴﹣7＜x＜﹣
综上，不等式的解集为（﹣7，
若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立，求实数a的取值范围．
正确答案
在数轴上，|x-a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x-1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，
∵（|PA|+|PB|）min=|a-1|，
∴要使得不等式|x-a|+|x-1|≤3成立，只要最小值|a-1|≤3就可以了，
即|a-1|≤3，∴-2≤a≤4．
故实数a的取值范围是-2≤a≤4．
故答案为：[-2，4]．
扫码查看完整答案与解析