- 不等式和绝对值不等式
- 共3272题
设x，a∈N+，且关于不等式|x-1|＜a的解集有且仅有5个元素．则a的值是______．
正确答案
∵|x-1|＜a（a∈N+），
∴1-a＜x＜1+a，
又不等式|x-1|＜a的解集有且仅有5个元素且x∈N+，
∴该不等式的解集A={1，2，3，4，5}．
∴a＞4，又a∈N+，
∴a=5．
故答案为：5．
若lg（|x﹣5|+|x+3|）≥1，则x取值范围是（ ）．
正确答案
（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）
已知关于x的不等式|x-1|＜2，则实数x取值范围是（ ）。
正确答案
（-1，3）
不等式|2x-1|-|x-2|＜0的解集为（ ）。
正确答案
若关于x的不等式|x-2|-|x-5|＞k的解集不是空集，则实数k的取值区间为______．
正确答案
令f（x）=|x-2|-|x-5|，
∵不等式|x-2|-|x-5|＞k的解集不是空集，
∴|x-2|-|x-5|＞k有解，
∴k小于f（x）=|x-2|-|x-5|的最大值．
因为f（x）=|x-2|-|x-5|≤|（x-2）-（x-5）|=3，
即f（x）max=3，
∴k＜3．
∴实数k的取值区间为（-∞，3）．
故答案为（-∞，3）．
对任意实数x，若不等式|x+2|+|x+1|＞k恒成立，则实数k的取值范围是（ ）。
正确答案
k＜1
不等式|2x-1|>1的解集是（ ）。
正确答案
若不等式|3x-b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围 ______．
正确答案
因为|3x-b|＜4⇒-4＜3x-b＜4⇒
又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，
故有
故答案为5＜b＜7．
设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M．
（Ⅰ） 求集合M；
（Ⅱ） 若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小
正确答案
解：（Ⅰ）由|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，
∴0＜x＜1，
集合M=（0，1）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a，b∈M知 0＜a＜1，0＜b＜1，
所以（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）＞0，
故 ab+1＞ab．
已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1=2。设该数列的前n项和为Sn，且an+1=（a-1）Sn+2（n=1，2，…，2k-1），其中常数a＞1，
（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；
（Ⅱ）若
（Ⅲ）若（Ⅱ）中的数列{bn}满足不等式
正确答案
解：（Ⅰ）证明：当n=1时，a2=2a，则
当2≤n≤2k-1时，
∴
∴
故数列{an}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ），得
∴
即数列{bn}的通项公式为
（Ⅲ）设
又n为正整数，于是可得：当n≤k时，
由
又整数k≥2，
∴当k=2，3，4，5，6，7时，原不等式成立，
故k的值为2，3，4，5，6，7。
若关于x的不等式
正确答案
（﹣
若不等式|2x-3|＞4与不等式x2+px+q＞0的解集相同，则
正确答案
对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）．
正确答案
[﹣2，+∞）
若|x（x﹣2）|＞0，则
正确答案
（﹣∞，﹣7]∪（1，+∞）
对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]
（1）判断f1（x）=|x﹣1|+|x﹣2|和f2（x）=x+|x﹣2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（2）若函数
正确答案
解：（1）对于函数f1（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，
当x∈[1，2]时，f1（x）=1．
当x＜1或x＞2时，f1（x）＞|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1恒成立，
故f1（x）是“平底型”函数．
对于函数f2（x）=x+|x﹣2|，
当x∈（﹣∞，2]时，f2（x）=2；
当x∈（2，+∞）时，f2（x）=2x﹣2＞2．
所以不存在闭区间[a，b]，使当x
故f2（x）不是“平底型”函数；
（2）由“平底型”函数定义知，存在闭区间[a，b]
使得对任意的x∈[a，b]，
都有g（x）=mx+
即
所以x2+2x+n=（c﹣mx）2 恒成立，
即x2+2x+n=m2x2﹣2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立
所以
所以
①当
当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣1，
当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=2x+1＞﹣1恒成立．
此时，g（x）是区间[﹣2，+∞）上的“平底型”函数
②当
当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣2x﹣1≥1，
当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=1．
此时，g（x）不是区间[﹣2，+∞）上的“平底型”函数．
综上分析，m=1，n=1为所求
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