热门试卷

(Ⅰ)证明：∵，

，

∴

；

(Ⅱ)注意到点A(x1，y1)与点B(x2，y2)不同，下面分三种情形讨论．

(1)若x1=x2，则y1≠y2，

由条件②得，

即，∴，

由条件①得，

∴，

∴，∴x=x1，

因此，所求的点C为；

(2)若y1=y2，则x1≠x2，类似于(Ⅰ)，可得符合条件的点C为；

(3)当x1≠x2且y1≠y2时，不妨设x1＜x2，

(ⅰ)若y1＜y2，则由(Ⅰ)中的证明知，要使条件①成立，

当且仅当(x-x1)(x2-x)≥0与(y-y1)(y2-y)≥0同时成立，

故x1≤x≤x2且y1≤y≤y2，

从而由条件②，得，

此时所求点C的全体为M={(x，y)|，x1≤x≤x2且y1≤y≤y2}；

(ⅱ)若y1＞y2，类似地由条件①可得x1≤x≤x2且y2≤y≤y1，

从而由条件②得，

此时所求点的全体为{(x，y)|，x1≤x≤x2且y2≤y≤y1}。

解：（Ⅰ）当时，可化为。

由此可得  或。

故不等式的解集为或。

( Ⅱ) 由 得     此不等式化为不等式组

  或

即          或    

因为，所以不等式组的解集为

由题设可得= ，故  

原不等式|ax-2|≥bx可化为ax-2≥bx或ax-2≤-bx，

（1）对于不等式ax-2≤-bx，即（a+b）x≤2  因为a＞0，b＞0即：x≤．

（2）对于不等式ax-2≥bx，即（a-b）x≥2①

当a＞b＞0时，由①得x≥，∴此时，原不等式解为：x≥或x≤；

当a=b＞0时，由①得x∈ϕ，∴此时，原不等式解为：x≤；

当0＜a＜b时，由①得x≤，∴此时，原不等式解为：x≤．

综上可得，当a＞b＞0时，原不等式解集为(-∞，]∪[，+∞)，

当0＜a≤b时，原不等式解集为(-∞，]．

解：（1）函数可化为，

∴，即的值域为，

（2）若，则，

当且仅当即时，

又由（1）知，若对，

恒有g（s）≥（）成立，即，∴，解得

∴实数a的取值范围为。

（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|= 

当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；

当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；

当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．

所以M=（﹣2，2）．

（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，

∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，

∴4（a+b）2＜（4+ab）2，

∴2|a+b|＜|4+ab|．

解：（1）a=1时，f（x）＜|x-2|，

即x|x-1|-2＜|x-2|（*）

①当x≥2时，由（*）x（x-1）-2＜x-20＜x＜2

又x≥2，

∴x∈；

②当1≤x＜2时，

由（*）x（x-1）-2＜2-x-2＜x＜2

又1≤x＜2，

∴1≤x＜2；

③当x＜1时，

由（*）x（1-x）-2＜2-xx∈R

又x＜1，

∴x＜1

综上：由①②③知原不等式的解集为{x|x＜2}。

（2）当x∈（0，1]时，

即恒成立，

也即在x∈（0，1]上恒成立，

而在（0，1]上为增函数，

故，

，当且仅当

即时，等号成立

故。

解：原式等价于

设

则原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|对任意t恒成立

因为|t+1|+|2t-1|=

最小值为时取到，为

所以有

解得。

解：（1）（- ∞，-1）∪（，+∞）

（2）

解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3．

又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，

所以 解得a=2．

（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．

设g（x）=f（x）+f（x+5），

于是 

所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；

当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；

当x＞2时，g（x）＞5．

综上可得，g（x）的最小值为5．

从而，若f（x）+f（x+5）≥m

即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．

解：的零点为-3，的零点为5，

∴原不等式的解集为下列三个不等式组的解集的并集：

①，即，此不等式组无解；

②，即，∴；

③，即，∴；

∴原不等式的解集是。

解：（1）当a=-3时，f（x）≥3

即|x-3|+|x-2|≥3，

即 ，或，或

解得 x≤1或x≥4，

故不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}。

（2）原命题即f（x）≤|x-4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2-x≤4-x在[1，2]上恒成立，

等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，

解得-3≤a≤0，故a的取值范围为[-3，0]。

解：（1）       

所以当时，为常函数。

（2）由（1）得函数的最小值为4，        

a的取值范围为。

解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2，

∴x≥3或x≤﹣1．

故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．

（Ⅱ） 由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0，

此不等式可化为不等式组 或 ，

即  或 ，

因为a＞0，

所以不等式组的解集为 

由题设可得 =﹣1，故a=2．

解：由题意，f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|=

（Ⅰ）不等式f（x）＜2等价于或或，

∴2.5＜x＜4.5；

（Ⅱ）∵f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|=

∴f（x）min=1

∵不等式f（x）＜2a的解集不是空集，

∴1＜2a

∴

∴a的取值范围为