热门试卷

证明：（+）（+）（+）=•（y+z）（x+z）（x+y）≥=8，

当且仅当x=y=z时，等号成立．

（1）解：Sn=nan+2-（n≥2，n∈N*）①

Sn-1=（n-1）an-1+2-（n≥3，n∈N*）②

①-②得an=nan-（n-1）an-1-（n-1），

即有an-an-1=1（n≥3，n∈N*）

①中令n=2，a1+a2=2a2+2-1，a2=3，

综上an=；

（2）证明：①当n=2时，b2=b12-2=14＞3=a2，不等式成立；

②假设n=k（k≥2）时，不等式bk＞k+1（k≥2时ak=k+1），

那么当n=k+1时，

bk+1=bk2-（k-1）bk-2=bk（bk-k+1）-2

＞bk（k+1-k+1）-2=2bk-2＞2（k+1）-2（由归设）=2k≥k+2

∴n=k+1命题真；

综合①②知当n≥2时，bn＞an．

（3）证明：设f（x）=ln（1+x）-x，f′（x）=-1=-＜0，

f（x）在（0，+∞）递减，则f（x）＜f（0）=0，

即ln（1+x）＜x，又n≥2时，＜=，

则ln（1+）＜＜=-，

即有ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜（-）+（-）+…+（-）

=-．

则有（1+）（1+）…（1+）＜．

解：∵，

==不可能成立

∴＜•=3

证明：（1）∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴；

（2）∵a2+b2≥2ab，c2+b2≥2bc，a2+c2≥2ac，

∴三式相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ac，当且仅当a=b=c时等号成立

证明：（1）（a2+b2）-（ab+a+b-1）

=（2a2+2b2-2ab-2a-2b+2）

=[（a2-2ab+b2）+（a2-2a+1）+（b2-2b+1）]

=[（a-b）2+（a-1）2+（b-1）2]≥0，

则a2+b2≥ab+a+b-1；

（2）|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=（a2-1）（b2-1）．

由于|a|＜1，|b|＜1，则a2-1＜0，b2-1＜0．

则|1-ab|2-|a-b|2＞0，

故有|1-ab|＞|a-b|．

（I）证明：∵a2+b2≥2ab，c2+d2≥2cd，

∴a2+b2+c2+d2≥2（ab+cd），当且仅当a=b=c=d=时取“=”…（2分）

又∵a2+b2=1，c2+d2=1

∴2（ab+cd）≤2                                  …（4分）          

∴ab+cd≤1                                     …（5分）

（Ⅱ）解：设=（a，b），=（1，），

∵|⋅|≤||⋅||，…（8分）

∴|a+b|≤2=2，

∴-2≤a+b≤2

∴a+b的取值范围为[-2，2]．                   …（10分）

证明：（1）∵a，b，c均为正数，

由柯西不等式得（a+b+c）（++）=9

不等式得证．…（5分）

（2）++=≥2+2+2-3=3

不等式得证．…（10分）

解：令g（x）=lnx-x+1，

当x≥1时，g′（x）=-1=≤0，

∴g（x）=lnx-x+1在[1，+∞）上单调递减，

∴当x≥1时，g（x）max=g（1）=0，

∴g（x）=lnx-x+1≤g（1）=0，

当x＞1时，g（x）=lnx-x+1＜g（1）=0

即lnx＜x-1（x＞1）．

令x=1+（k∈N*），则ln（1+）＜，即nln（1+）＜k，

∴ln[（1+）]n＜k，

∴[（1+）]n＜ek（k∈N*），

∴＜e1+e2+…+en=（证毕）．