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题型:填空题
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填空题

若对于任意实数x,不等式|x+2|-|x-1|>a恒成立,则实数a的取值范围是______.

正确答案

(1)设f(x)=|x+2|-|x-1|,则有f(x)=

当x≤-2时,f(x)有最小值-3;当-2≤x≤1时,f(x)有最小值-3;

当x≥1时,f(x)=3.综上f(x)有最小值-3,所以,a<-3.

故答案为:a<-3.

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题型:简答题
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简答题

如图,O为数轴的原点,A,B,M为数轴上三点,C为线段OM 上的动点,设x表示C与原点的距离,y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和。

(1)将y表示为x的函数;

(2)要使y的值不超过70,x应该在什么范围内取值?

正确答案

解:(1)y=4|x-10|+6|x-20|,0≤x≤30。

(2)依题意,x满足

解不等式组,其解集为[9,23]

所以x∈[9,23]。

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|。

(1)求f(x)的最小值;

(2)解不等式|x-4|+|x-1|≤5。

正确答案

解:(1)当时,

(2)解集为

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题型:填空题
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填空题

对于任意实数a(a≠0)和b及m∈[1,2],不等式|a+b|+ |a-b|≥|a|·(m2-km+1)恒成立,则实数k的取值范围 为(    )。

正确答案

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题型:简答题
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简答题

设函数f(x)=|2x-4|+1。

(1)画出函数y=f(x)的图象;

(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围。

正确答案

解:(1)由于f(x)=

则函数y=f(x)的图象如图所示

(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a≥或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点,故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值范围为(-∞,-2)∪

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题型:简答题
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简答题

如图,O为数轴的原点,A,B,M为数轴上三点,C为线段OM上的一动点,设x表示C与原点的距离,y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和。

(1)将y表示为x的函数;

(2)要使y的值不超过70,x应该在什么范围内取值。

正确答案

解:(1)y=4|x-10|+6|x-20|,0≤x≤30;

(2)依题意,x满足

解不等式组得9≤x≤23,即x∈[9,23]。

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题型:简答题
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简答题

已知二次函数f(x)=ax2+x,(a∈R)。

(1)当0<a<时,f(sinx)(x∈R)的最大值为,求f(x)的最小值;

(2)对于任意的x∈R,总有|f(sinxcosx)|≤1。试求a的取值范围;

(3)若当n∈N*时,记,令a=1,求证:成立。

正确答案

解:(1)由

故当时,f(x)取得最大值

所以f(x)的最小值为-1。

(2)∵对于任意的x∈R,总有||≤1

则命题转化为,不等式恒成立

时,使成立

时,有

对于任意的恒成立

故要使①式成立,则有

故要使②式成立,则有

由题意

综上

(3)由题意

时单调递增

综上,原结论成立。

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题型:简答题
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简答题

设关于x的不等式

(1)当a=3时,解这个不等式;

(2)若不等式解集为R,求a的取值范围。

正确答案

解:(1)当a=3时,

时,化简,得,解得:

时,化简,得,不等式不成立;

时,化简,得,解得:

∴不等式的解集为

(2)

∴若原不等式解集为R,则

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m).

(1)当m=5时,求函数f(x)的定义域;

(2)若关于x的不等式f(x)≥1的解集是R,求m的取值范围.

正确答案

(1)由题设知:当m=5时:|x+1|+|x-2|>5,

不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:

,或,或

解得函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(3,+∞);

(2)不等式f(x)≥1即|x+1|+|x-2|>m+2,

∵x∈R时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,

不等式|x+1|+|x-2|>m+2解集是R,

∴m+2<3,m的取值范围是(-∞,1).

故答案为(-∞,1).

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题型:简答题
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简答题

已知函数

(Ⅰ)解关于x的不等式

(Ⅱ)求由曲线围成的封闭图形的面积。

正确答案

解:(Ⅰ)∵

∴要解的不等式可化为

∴不等式的解集为

(Ⅱ)由消去y,得

解得:

∴所求图形的面积为

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题型:简答题
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简答题

已知二次函数f(x)=x2+x,若不等式f(-x)+f(x)≤2|x|的解集为C,

(Ⅰ)求集合C;

(Ⅱ)若方程f(ax)-ax+1=5(a>0,a≠1)在C上有解,求实数a的取值范围;

(Ⅲ)记f(x)在C上的值域为A,若,x∈[0,1]的值域为B,且,求实数t的取值范围。

正确答案

解:(Ⅰ)f(x)+f(-x)=2x2

当x ≥0时,

当x<0时,

∴集合C=[-1 ,1] 。

(Ⅱ)

令ax=u,

则方程为h(u)=u2-(a-1)u-5=0,h(0)=-5,

当a>1时,,h(u)=0在上有解,

当0<a<1时,,g(u)=0在上有解,

∴当或a≥5时,方程在C上有解,且有唯一解。

(Ⅲ),g′(x)=3x2-3t,

①当t≤0时,g′(x)≥0,函数在x∈[0,1]单调递增,

∴函数g(x)的值域

,解得,即

②当t ≥1,g′(x )≤0 ,函数g(x)在区间[0,1] 单调递减,

又t≥1,

所以t≥4;

③当0<t<1时,令g′(x)=0得(舍去负值),

时,g′(x)>0;当时,g′(x)<0,

∴函数g(x)在单调递增,在单调递减,g(x)在达到最小值;

要使,则,无解;

综上所述:t的取值范围是

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题型:简答题
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简答题

已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx。

(1)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)的解析式;

(2)在(1)的条件下,若对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤t,求实数t的最小值;

(3)当-1≤x≤1时,|f′(x)|≤1,试求a的最大值,并求a取得最大值时f(x)的表达式。

正确答案

解:(1)∵函数f(x)过点

 ①

,函数在点处的切线方程为

 ②

由①和②解得

(2)由(1),令

解得

∴在区间

∴对于区间上任意两个自变量的值

从而t的最小值为20;

(3)∵

可得

∵当时,

,故a的最大值为

时,解得

∴a取得最大值时

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题型:简答题
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简答题

若实数x、y、m满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m。

 (I)若x2-1比3接近0,求x的取值范围;

 (Ⅱ)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab

 (Ⅲ)已知函数f(x)的定义域D={x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}。任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值。写出函数f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明)。

正确答案

解:(Ⅰ)由题意得|x2-1|<3,即-32-1<3

解得-2

∴x的取值范围是(-2,2);

(Ⅱ)证明:当a、b是不相等的正数时,a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+b)>0

于是

接近

(Ⅲ)由|1-sinx|< |1+sinx|得1-sinx<1+sinx,即sinx>0,则2kπ

同理,若|1+sinx|< |1-sinx|,则2kπ+π

于是,函数f(x)的解析式是

函数f(x)的大致图象如下:

函数f(x)的最小正周期T=π

函数f(x)是偶函数

时,函数f(x)取得最小值0

函数f(x)在上单调递减;

上单调递增。

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题型:简答题
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简答题

已知实数a、b满足关于x的不等式|x2+x+b|≤|2x2-4x-16|对一切x∈R恒成立。

(Ⅰ)请验证:=-2,b=-8满足题意;

(Ⅱ)求出所有满足题意的实数、b,并说明理由;

(Ⅲ)若对一切x>2均有不等式 x2+x+b≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围。

正确答案

解:(Ⅰ)当=-2,b=-8时,对一切x∈R,

恒成立。

(Ⅱ)恒成立,

∴当x=-2或x=4时成立,此时|2x2-4x-16|=0,

,满足题意的、b的值仅此一对。

(Ⅲ)

∵x>2,

恒成立,

(当x=3时,等号成立),

∴m≤2。

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题型:填空题
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填空题

不等式组的正整数解集为(    )。

正确答案

{6,7,8}

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