- 不等式和绝对值不等式
- 共3272题
若对于任意实数x,不等式|x+2|-|x-1|>a恒成立,则实数a的取值范围是______.
正确答案
(1)设f(x)=|x+2|-|x-1|,则有f(x)=,
当x≤-2时,f(x)有最小值-3;当-2≤x≤1时,f(x)有最小值-3;
当x≥1时,f(x)=3.综上f(x)有最小值-3,所以,a<-3.
故答案为:a<-3.
如图,O为数轴的原点,A,B,M为数轴上三点,C为线段OM 上的动点,设x表示C与原点的距离,y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和。
(1)将y表示为x的函数;
(2)要使y的值不超过70,x应该在什么范围内取值?
正确答案
解:(1)y=4|x-10|+6|x-20|,0≤x≤30。
(2)依题意,x满足
解不等式组,其解集为[9,23]
所以x∈[9,23]。
已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|。
(1)求f(x)的最小值;
(2)解不等式|x-4|+|x-1|≤5。
正确答案
解:(1)当时,
(2)解集为。
对于任意实数a(a≠0)和b及m∈[1,2],不等式|a+b|+ |a-b|≥|a|·(m2-km+1)恒成立,则实数k的取值范围 为( )。
正确答案
设函数f(x)=|2x-4|+1。
(1)画出函数y=f(x)的图象;
(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围。
正确答案
解:(1)由于f(x)=
则函数y=f(x)的图象如图所示
;
(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a≥或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点,故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值范围为(-∞,-2)∪
。
如图,O为数轴的原点,A,B,M为数轴上三点,C为线段OM上的一动点,设x表示C与原点的距离,y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和。
(1)将y表示为x的函数;
(2)要使y的值不超过70,x应该在什么范围内取值。
正确答案
解:(1)y=4|x-10|+6|x-20|,0≤x≤30;
(2)依题意,x满足
解不等式组得9≤x≤23,即x∈[9,23]。
已知二次函数f(x)=ax2+x,(a∈R)。
(1)当0<a<时,f(sinx)(x∈R)的最大值为
,求f(x)的最小值;
(2)对于任意的x∈R,总有|f(sinxcosx)|≤1。试求a的取值范围;
(3)若当n∈N*时,记,令a=1,求证:
成立。
正确答案
解:(1)由知
故当时,f(x)取得最大值
即
∴
∴
所以f(x)的最小值为-1。
(2)∵对于任意的x∈R,总有||≤1
令
则命题转化为,不等式
恒成立
当时,
使
成立
当时,有
对于任意的恒成立
∵
∴或
则
故要使①式成立,则有
又
故要使②式成立,则有
由题意
综上。
(3)由题意
令
则
∴在
时单调递增
∴
又
∴
综上,原结论成立。
设关于x的不等式。
(1)当a=3时,解这个不等式;
(2)若不等式解集为R,求a的取值范围。
正确答案
解:(1)当a=3时,,
即,
∴,
当时,化简,得
,解得:
;
当时,化简,得
,不等式不成立;
当时,化简,得
,解得:
,
∴不等式的解集为或
。
(2),
∴,
∴若原不等式解集为R,则。
已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m).
(1)当m=5时,求函数f(x)的定义域;
(2)若关于x的不等式f(x)≥1的解集是R,求m的取值范围.
正确答案
(1)由题设知:当m=5时:|x+1|+|x-2|>5,
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:
,或
,或
,
解得函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(3,+∞);
(2)不等式f(x)≥1即|x+1|+|x-2|>m+2,
∵x∈R时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
不等式|x+1|+|x-2|>m+2解集是R,
∴m+2<3,m的取值范围是(-∞,1).
故答案为(-∞,1).
已知函数和
,
(Ⅰ)解关于x的不等式;
(Ⅱ)求由曲线和
围成的封闭图形的面积。
正确答案
解:(Ⅰ)∵,
∴要解的不等式可化为,
∴或
或
,
∴或
,
∴不等式的解集为。
(Ⅱ)由消去y,得
,
解得:,
,
∴所求图形的面积为。
已知二次函数f(x)=x2+x,若不等式f(-x)+f(x)≤2|x|的解集为C,
(Ⅰ)求集合C;
(Ⅱ)若方程f(ax)-ax+1=5(a>0,a≠1)在C上有解,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)记f(x)在C上的值域为A,若,x∈[0,1]的值域为B,且
,求实数t的取值范围。
正确答案
解:(Ⅰ)f(x)+f(-x)=2x2,
当x ≥0时,;
当x<0时,;
∴集合C=[-1 ,1] 。
(Ⅱ),
令ax=u,
则方程为h(u)=u2-(a-1)u-5=0,h(0)=-5,
当a>1时,,h(u)=0在
上有解,
则;
当0<a<1时,,g(u)=0在
上有解,
则;
∴当或a≥5时,方程在C上有解,且有唯一解。
(Ⅲ),g′(x)=3x2-3t,
①当t≤0时,g′(x)≥0,函数在x∈[0,1]单调递增,
∴函数g(x)的值域,
,
∴,解得
,即
;
②当t ≥1,g′(x )≤0 ,函数g(x)在区间[0,1] 单调递减,
,
∴,
又t≥1,
所以t≥4;
③当0<t<1时,令g′(x)=0得(舍去负值),
当时,g′(x)>0;当
时,g′(x)<0,
∴函数g(x)在单调递增,在
单调递减,g(x)在
达到最小值;
要使,则
,无解;
综上所述:t的取值范围是。
已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx。
(1)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,若对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤t,求实数t的最小值;
(3)当-1≤x≤1时,|f′(x)|≤1,试求a的最大值,并求a取得最大值时f(x)的表达式。
正确答案
解:(1)∵函数f(x)过点
∴ ①
又,函数
在点
处的切线方程为
∴
∴ ②
由①和②解得,
,
故;
(2)由(1),令
解得
∴,
,
,
∴在区间上
,
∴对于区间上任意两个自变量的值
∴
从而t的最小值为20;
(3)∵
则
可得
∵当时,
∴,
,
∴
∴,故a的最大值为
当时,
解得
,
∴a取得最大值时。
若实数x、y、m满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m。
(I)若x2-1比3接近0,求x的取值范围;
(Ⅱ)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab;
(Ⅲ)已知函数f(x)的定义域D={x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}。任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值。写出函数f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明)。
正确答案
解:(Ⅰ)由题意得|x2-1|<3,即-3
解得-2
∴x的取值范围是(-2,2);
(Ⅱ)证明:当a、b是不相等的正数时,a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+b)>0
又
则
于是
接近
;
(Ⅲ)由|1-sinx|< |1+sinx|得1-sinx<1+sinx,即sinx>0,则2kπ
同理,若|1+sinx|< |1-sinx|,则2kπ+π
于是,函数f(x)的解析式是
函数f(x)的大致图象如下:
函数f(x)的最小正周期T=π
函数f(x)是偶函数
当时,函数f(x)取得最小值0
函数f(x)在上单调递减;
在上单调递增。
已知实数a、b满足关于x的不等式|x2+x+b|≤|2x2-4x-16|对一切x∈R恒成立。
(Ⅰ)请验证:=-2,b=-8满足题意;
(Ⅱ)求出所有满足题意的实数、b,并说明理由;
(Ⅲ)若对一切x>2均有不等式 x2+x+b≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围。
正确答案
解:(Ⅰ)当=-2,b=-8时,对一切x∈R,
恒成立。
(Ⅱ)恒成立,
∴当x=-2或x=4时成立,此时|2x2-4x-16|=0,
即,
得,满足题意的、b的值仅此一对。
(Ⅲ),
即,
即,
∵x>2,
∴恒成立,
(当x=3时,等号成立),
∴m≤2。
不等式组的正整数解集为( )。
正确答案
{6,7,8}
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