热门试卷

解答：解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，

变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，

显然，x=1已是该方程的根，

从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，

有且仅有一个等于1的解或无解，

结合图形得a＜0．

（2）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，

①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；

②当x≠1时，（*）可变形为，令

因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，

所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．

综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．

（3）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2﹣1|+a|x﹣1|=

 当时，结合图形可知h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，

且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，

经比较，此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3．

当时，

结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]，上递减，

在，[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，

经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3．

当时，

结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]14，15上递减， 在，[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，

经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3．

当时，

结合图形可知h（x）在，上递减， 在，上递增，

且h（﹣2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，

经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3．

当时，结合图形可知h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，

故此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为h（1）=0．

综上所述，当a≥0时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3；

当﹣3≤a＜0时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3；

当a＜﹣3时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为0．

（1）原不等式|x-3|+|x-4|＜2

当x＜3时，原不等式化为7-2x＜2，解得x＞，∴＜x＜3

当3≤x≤4时，原不等式化为1＜2，∴3≤x≤4

当x＞4时，原不等式化为2x-7＜2，解得x＜，∴4＜x＜

综上，原不等式解集为{x|＜x＜}；（5分）

（2）法一、作出y=|x-3|+|x-4|与y=a的图象，

若使|x-3|+|x-4|＜a解集为空集只须y=|x-3|+|x-4|图象在y=a的图象的上方，

或y=a与y=1重合，∴a≤1

所以，a的范围为（-∞，1]，（10分）

法二、：y=|x-3|+|x-4|=

当x≥4时，y≥1

当3≤x＜4时，y=1

当x＜3时，y＞1

综上y≥1，原问题等价为a≤[|x-3|+|x-4|]min∴a≤1（10分）

法三、：∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，

当且仅当（x-3）（x-4）≤0时，上式取等号

∴a≤1．

（1）解：若2x﹣1比3接近0，则有|2x﹣1﹣0|＜|3﹣0|，

∴|2x﹣1|＜3，即﹣3＜2x﹣1＜3，

解得﹣1＜x＜2，故x的取值范围为 （﹣1，2）．

（2）证明：对任意两个不相等的正数a、b，，

有a2b+ab2 ＞，，即．

又因为|a2b+ab2 ﹣|﹣||

=ab（a+b）﹣﹣（a3+b3）+

=ab（a+b）﹣（a+b）（a2+b2﹣ab）

=﹣（a+b）（a﹣b）2＜0，

所以，|a2b+ab2 ﹣|＜||，

即a2b+ab2比a3+b3接近．

解：∵|a+1|+|a-1|＞0，

对于，不等式（|a+1|+|a-1|）f（x）≥|4a|恒成立恒成立，

只需f（x）不小于的最大值，

∵|a+1|+|a-1|≥|（a+1）+（a-1）|=|2a|＞0，

当且仅当（a+1）（a-1）≥0，即|a|≥1时取等号，

故，即的最大值为2，

∴根据题意有|x|+|x+1|≥2，①

当x＜-1时，①可化为-x-x-1≥2，解得；

当-1≤x＜0时，①可化为-x+x+1≥2，解得x∈；

当x≥0时，①可化为x+x+1≥2，解得；

综上，或。

解：（I ）原不等式等价于或

或       

解得或或  

即不等式的解集为

（II）∵

∴。

（I）证明：当x≤2时，f（x）=2-x-（5-x）=-3；

当2＜x＜5时，f（x）=x-2-（5-x）=2x-7，所以-3＜f（x）＜3；

当x≥5 时，f（x）=x-2-（x-5）=3．

所以-3≤f（x）≤3．…（5分）

（II）由（I）可知，当x≤2时，f（x））≥x2-8x-8x+15，等价于-3≥x2-8x+15，等价于（x-4）2+2≤0，解集为∅．

当2＜x＜5时，f（x）≥x2-8x-8x+15，等价于2x-7）≥x2-8x-8x+15，即 x2-10x+22≤0，解得 5-≤x≤5+，故不等式的解集为{x|5-≤x＜5}．

当x≥5时，f（x））≥x2-8x-8x+15，等价于x2-8x+12≤0，解得2≤x≤6，

∴不等式的解集为 {x|5≤x≤6}．

综上，不等式的解集为{x|5-≤x≤6}．…（10分）

（1）由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a，

∴a-6≤2x-a≤6-a，即a-3≤x≤3，

∴a-3=-2，

∴a=1．（5分）

（2）由（1）知f（x）=|2x-1|+1，令φ（n）=f（n）+f（-n），

则φ（n）=|2n-1|+|2n+1|+2=

∴φ（n）的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．（10分）

解：（1）（- ∞，-1）∪（，+∞）

（2）

解：（1）不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立，

即对于任意的实数a（a≠0）和b恒成立，

只要M恒小于或等于的最小值，

因为 |a+b|+|a-b|≥ |（a+b）+（a-b）|=2|a|，

所以

即的最小值是2，

所以M≤2，m=2。

（2）当x＜1时，原不等式化为-（x-1）-（x-2）≤2，

解得，

所以x的取值范围是

当1≤x≤2时，原不等式化为（x-1）-（x-2）≤2，

得x的取值范围是1≤x≤2

当x>2时，原不等式化为（x-1）+（x-2）≤2，

解得，

所以x的取值范围是

综上所述x的取值范围是。

解：（1）由得

当时，解集是R

当时，解集是。

（2）当a＞1时，（C∪A）=；

当时，C∪A=

因

由得，即

所以B=Z

当（CUA）∩B恰有3个元素时，a就满足

解得。

解：（1）

对应系数得；

（2）令g（x）=f（x）+f（x+5），则由的图象知

故。

解：（1）

做出函数的图像，

它与直线y=4的交点为（-8，4）和（2，4）

∴的解集为[-8，2]。

（2）由的图像可知当x=-时，

所以存在x使得f（x）+a≤0成立-a≥a≤。

解：（1）由|ax+1|≤3得-4≤ax≤2

∵不等式f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．

∴当a≤0时，不合题意；

当a＞0时， ，

∴a=2 。

（2）记，

∴h（x）=

∴|h（x）|≤1

∴恒成立，

∴k≥1。

（1）∵|x+2|+|x-2|=|x+2|+|2-x|≥|（x+2）+（2-x）|=4，

∴f（x）≥4．（5分）

（2）当x＜-2时，f（x）=-2x≥x2-2x+4，解集为x∈∅；（7分）

当-2≤x≤2时，f（x）=4≥x2-2x+4，解集为[0，2]；（9分） 

当x＞2时，f（x）=2x≥x2-2x+4，解集为∅（11分）

综上所述，f（x）≥x2-2x+4的解集为[0，2]．（12分）