- 不等式和绝对值不等式
- 共3272题
（选做题）
（Ⅰ）若|a|＜1，|b|＜1，比较|a+b|+|a-b|与2的大小，并说明理由；
（Ⅱ）设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：
正确答案
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）因为
所以
又因为
所以
故原不等式成立。
若存在实数x满足不等式|x-4|+|x-3|＜a，求实数a的取值范围．
正确答案
解：令
则有
由图象可得ymin=1，
又因为原不等式有实数解，
所以，a的取值范围是(1，+∞)。
若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求b的取值范围。
正确答案
解：解不等式，得
由不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1，2，3，可得
解得：
所以，b的取值范围是（5，7）。
（选做题）对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值。
正确答案
解：
（当且仅当x=2，y=3或x=0，y=1时取等号）。
解不等式：x+|2x-1|＜3。
正确答案
解：原不等式等价于：x-3＜2x-1＜3-x，
∴
（选作题）
设函数f（x）=|x-1|+|x-2|，
（1）画出函数y=f（x）的图像；
（2）若不等式|a+b|+|a-b| ≥|a|f（x）（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围。
正确答案
解：（1）
图像如下，
（2）由|a+b|+|a-b|≥|a|f（x），得
又因为
则有2≥f（x），
解不等式2≥|x-1|+|x-2|，得
已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，
∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3，
∴a﹣3=﹣2，
∴a=1．
（2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，
令φ（n）=f（n）+f（﹣n），
则φ（n）=|2n﹣1|+|2n+1|+2=
∴φ（n）的最小值为4，
故实数m的取值范围是[4，+∞）．
解不等式|2x-4|＜4-|x|。
正确答案
解：当x＞2时，原不等式同解于2x-4＜4-x，解得
当0≤x≤2时，原不等式同解于4-2x＜4-x，解得x＞0，所以0＜x≤2；
当x＜0时，原不等式同解于4-2x＜4+x，解得x＞0，所以x∈
综上所述，原不等式的解集为
不等式|x+2|+|x-1|≤4的解集是______．
正确答案
令f（x）=|x+2|+|x-1|，
则f（x）=
∴当x≤-2时，|x+2|+|x-1|≤4⇔-2x-1≤4，
∴-
当-2＜x＜1时，有3≤4恒成立，
当x≥1时，|x+2|+|x-1|≤4⇔2x+1≤4，
∴1≤x≤
综上所述，不等式|x+2|+|x-1|≤4的解集为[-
故答案为：[-
若关于x的不等式|x-3|+|x+1|＞a的解集为R，则实数a的取值范围是______．
正确答案
令f（x）=|x-3|+|x+1|，
则f（x）=|x-3|+|x+1|≥|（x-3）-（x+1））|=4，
∴f（x）min=4．
∵|x-3|+|x+1|＞a的解集为R⇔a＜f（x）min恒成立，
∴a＜4，即实数a的取值范围是（-∞，4）．
故答案为：（-∞，4）．
如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集为空集，则实数b的取值范围为______．
正确答案
|x-4|-|x+5|的几何意义就是数轴上的点到4的距离与到-5的距离的差，差的最大值为9，如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集为空集，则实数b的取值范围为b＞9；
故答案为：b＞9．
解不等式：
（|3x-1|-1）（sinx-2）＞0。
正确答案
解：因为对任意
即
故解为
所以原不等式的解集为
若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k=______．
正确答案
∵|kx-4|≤2，
∴（kx-4）2≤4，即k2x2-8kx+12≤0，
∵不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，
∴1和3是方程k2x2-8kx+12=0的两根，
∴1+3=
∴k=2．
故答案为2．
已知函数f（x）=|x-4|+|x+5|．
（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）因为f（x）=|x-4|+|x+5|≥|（x-4）+（x+5）|=|2x+1|，
当且仅当（x-4）（x+5）≥0，即x≤-5或x≥4时取等号．
所以若f（x）=|2x+1|成立，则x的取值范围是（-∞，-5]∪[4，+∞）．
（Ⅱ）因为f（x）=|x-4|+|x+5|≥|（x-4）-（x+5）|=9，
所以若关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，则a＞f（x）min=9，
即a的取值范围是（9，+∞）．
解不等式|2x-1|＜|x|+1．
正确答案
根据题意，对x分3种情况讨论：
①当x＜0时，原不等式可化为-2x+1＜-x+1，
解得x＞0，又x＜0，则x不存在，
此时，不等式的解集为∅．
②当0≤x＜
解得x＞0，又0≤x＜
此时其解集为{x|0＜x＜
③当x≥
又由x≥
此时其解集为{x|
∅∪{x|0＜x＜
综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．
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