热门试卷

(Ⅰ)证明：∵，

，

∴

；

(Ⅱ)注意到点A(x1，y1)与点B(x2，y2)不同，下面分三种情形讨论．

(1)若x1=x2，则y1≠y2，

由条件②得，

即，∴，

由条件①得，

∴，

∴，∴x=x1，

因此，所求的点C为；

(2)若y1=y2，则x1≠x2，类似于(Ⅰ)，可得符合条件的点C为；

(3)当x1≠x2且y1≠y2时，不妨设x1＜x2，

(ⅰ)若y1＜y2，则由(Ⅰ)中的证明知，要使条件①成立，

当且仅当(x-x1)(x2-x)≥0与(y-y1)(y2-y)≥0同时成立，

故x1≤x≤x2且y1≤y≤y2，

从而由条件②，得，

此时所求点C的全体为M={(x，y)|，x1≤x≤x2且y1≤y≤y2}；

(ⅱ)若y1＞y2，类似地由条件①可得x1≤x≤x2且y2≤y≤y1，

从而由条件②得，

此时所求点的全体为{(x，y)|，x1≤x≤x2且y2≤y≤y1}。

解：（Ⅰ）当时，可化为。

由此可得  或。

故不等式的解集为或。

( Ⅱ) 由 得     此不等式化为不等式组

  或

即          或    

因为，所以不等式组的解集为

由题设可得= ，故  

原不等式|ax-2|≥bx可化为ax-2≥bx或ax-2≤-bx，

（1）对于不等式ax-2≤-bx，即（a+b）x≤2  因为a＞0，b＞0即：x≤．

（2）对于不等式ax-2≥bx，即（a-b）x≥2①

当a＞b＞0时，由①得x≥，∴此时，原不等式解为：x≥或x≤；

当a=b＞0时，由①得x∈ϕ，∴此时，原不等式解为：x≤；

当0＜a＜b时，由①得x≤，∴此时，原不等式解为：x≤．

综上可得，当a＞b＞0时，原不等式解集为(-∞，]∪[，+∞)，

当0＜a≤b时，原不等式解集为(-∞，]．

解：（1）对于函数f1（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，

当x∈[1，2]时，f1（x）=1．

当x＜1或x＞2时，f1（x）＞|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1恒成立，

故f1（x）是“平底型”函数．

对于函数f2（x）=x+|x﹣2|，

当x∈（﹣∞，2]时，f2（x）=2；

当x∈（2，+∞）时，f2（x）=2x﹣2＞2．

所以不存在闭区间[a，b]，使当x[a，b]时，f（x）＞2恒成立．

故f2（x）不是“平底型”函数；

（2）由“平底型”函数定义知，存在闭区间[a，b][﹣2，+∞）和常数c，

使得对任意的x∈[a，b]，

都有g（x）=mx+=c，

即=c﹣mx

所以x2+2x+n=（c﹣mx）2 恒成立，

即x2+2x+n=m2x2﹣2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立

所以，

所以或

①当时，g（x）=x+|x+1|．

当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣1，

当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=2x+1＞﹣1恒成立．

此时，g（x）是区间[﹣2，+∞）上的“平底型”函数

②当时，g（x）=﹣x+|x+1|．

当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣2x﹣1≥1，

当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=1．

此时，g（x）不是区间[﹣2，+∞）上的“平底型”函数．

综上分析，m=1，n=1为所求

解：（Ⅰ）由|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，

∴0＜x＜1，

集合M=（0，1）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）及a，b∈M知 0＜a＜1，0＜b＜1，

所以（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）＞0，

故 ab+1＞ab．

解：（Ⅰ）证明：当n=1时，a2=2a，则；

当2≤n≤2k-1时，，

∴，即，

∴，

故数列{an}是等比数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ），得（n=1，2，…，2k），

∴，

（n = 1，2，…，2k），

即数列{bn}的通项公式为（n=1，2，…，2k）；

（Ⅲ）设，解得，

又n为正整数，于是可得：当n≤k时，；当n≥k+1时，，

，

由，得，

又整数k≥2，

∴当k=2，3，4，5，6，7时，原不等式成立，

故k的值为2，3，4，5，6，7。

解：（1）函数可化为，

∴，即的值域为，

（2）若，则，

当且仅当即时，

又由（1）知，若对，

恒有g（s）≥（）成立，即，∴，解得

∴实数a的取值范围为。

（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|= 

当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；

当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；

当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．

所以M=（﹣2，2）．

（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，

∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，

∴4（a+b）2＜（4+ab）2，

∴2|a+b|＜|4+ab|．

解：（1）（- ∞，-1）∪（，+∞）

（2）

解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3．

又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，

所以 解得a=2．

（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．

设g（x）=f（x）+f（x+5），

于是 

所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；

当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；

当x＞2时，g（x）＞5．

综上可得，g（x）的最小值为5．

从而，若f（x）+f（x+5）≥m

即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．