不等式和绝对值不等式
共3272题

不等式和绝对值不等式
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题型：简答题

简答题

(6分)当时，求证：

正确答案

证明：

略

题型：简答题

简答题

如果求证：成等差数列。

正确答案

见解析

故，即成等差数列。

题型：简答题

简答题

（本题8分）设,求证：

正确答案

题型：简答题

简答题

(本题满分12分)

已知:

求证:

正确答案

.证明:…………2分

由于

=………………5分

…………①………………6分

由于

………②……………8分

同理: …………③……………10分

①+②+③得:

即原不等式成立………………12分

同答案

题型：简答题

简答题

已知，，均为正数，且++=1，求证

正确答案

见解析

即 +

同理+

三式相加得++=

题型：简答题

简答题

若正数满足，求证≥

当且仅当时，等号成立

正确答案

见解析

=++++++

≥=

当且仅当===，即时，等号成立

题型：简答题

简答题

已知，求证：.

正确答案

见解析

[证明]

∵，∴，，，

从而，即.

【考点定位】本小题主要考查利用比较法证明不等式，考查推理论证能力.

题型：简答题

简答题

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

（Ⅰ）ab+bc+ac；

（Ⅱ）

正确答案

解析

（Ⅰ）由，，得：

，由题设得，即

，所以

，即.

（Ⅱ）因为，，，

所以，即，

所以.

本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.

【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.

题型：简答题

简答题

(12分) 设，且,,试证：。

正确答案

略

题型：简答题

简答题

正数满足，求证

正确答案

见解析

证明：作一个边长为的等边三角形，如图所示，

题型：填空题

填空题

在中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，

不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立，，依此类推，在凸n边形中，不等式__ ___成立.

正确答案

试题分析：我们可以利用归纳推理的方法得到不等式，从而得出结论．

题型：简答题

简答题

已知函数的定义域为，且对于任意，存在正实数L，使得均成立。

（1）若，求正实数L的取值范围；

（2）当时，正项数列{}满足

①求证：；

②如果令，求证：.

正确答案

（1）（2）证明如下

试题分析：解：（1）由已知可得，对任意的，均有，

又由恒成立，即恒成立．

当时，由上可得．因为，故，故；

当时，恒成立。

的取值范围是．

（2）①因为，故当时，，所以

．因为，所以（当时，不等式也成立）．

②因为，所以

．所以

．

点评：本题难度较大。关于不等式的证明，常用到的方法较多，像放缩法、裂变法、绝对值性质法和基本不等式法等。

题型：简答题

简答题

（本小题满分14分）

已知：，　求证：.

正确答案

见解析。

可以采用最基本的作差比较法，可以利用分析法求解.

证明：（法一：作差比较法）

左边－右边＝

∴　　

得证.

（法二）∵　　　

∴　

二式相加得

∴　　

得证.

注：也可用分析法或综合法证明.

题型：简答题

简答题

设为非负实数，满足，证明：．

正确答案

不等式的证明一般可以考虑运用作差法或者是利用分析法来证明。

试题分析：为使所证式有意义，三数中至多有一个为0；据对称性，不妨设，则；

、当时，条件式成为，，，而

，

只要证，，即，也即，此为显然；取等号当且仅当．

、再证，对所有满足的非负实数，皆有

．显然，三数中至多有一个为0，据对称性，

仍设，则，令，为锐角，以为内角，构作，则，于是，且由知，；于是，即是一个非钝角三角形．

下面采用调整法，对于任一个以为最大角的非钝角三角形，固定最大角，将调整为以为顶角的等腰，其中，且设，记，据知，

．今证明，．即

……①．

即要证 ……②

先证 ……③，即证，

即，此即，也即

，即，此为显然．

由于在中，，则；而在中，

，因此②式成为

……④，

只要证， ……⑤，即证，注意③式以及

，只要证，即，也即…⑥

由于最大角满足：，而，则，所以

，故⑥成立，因此⑤得证，由③及⑤得④成立，从而①成立，即，因此本题得证．

点评：主要是考查了不等式的证明，方法比较多，一般是分析法和作差法构造函数法，属于难度题。

题型：简答题

简答题

已知a,b均为正数，且a+b=1,证明：

（1）

（2）

正确答案

见解析

（1）

因为a+b=1,所以，a-1=-b,b-1=-a,故

=,当且仅当a=b时等号成立。

（2）

当且仅当a=b时等号成立。

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