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证明：(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)

=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)，

∵a，b都是正数，

∴a+b，a2+ab+b2＞0，

又∵a≠b，

∴(a-b)2＞0，

∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)＞0，

即：a5+b5＞a2b3+a3b2。

解：

（1）当a>b>0时，，，从而函数递增

∴；

（2）当b>a>0时，0＜＜1，a-b＜0，从而函数递减

∴

（3）当a=b时，abbb=abba综上所述，可知。

解：∵=x2+x﹣x2=x．

∴不等式即是x+2＞m

∴

∴x（x+2）（x﹣m）＞0

①当m=﹣2时，原不等式得2x（x+2）2＞0∴3x＞0；即x＞0．

②当m＜﹣2时，原不等式得m＜x＜﹣2或x＞0．

综知m≤﹣2时，x的取值范围是（m，﹣2）∪（0，+∞）．

证明：左边＞0，右边＞0，

，

∴原不等式成立．

解：（1）由于x≥1，y≥1，所以

xy（x+y）+1≤y+x+（xy）2将上式中的右式减左式，得（y+x+（xy）2）-（xy（x+y）+1）

=（（x+y）2-1）-（xy（x+y）-（x+y））

=（xy+1）（xy-1）-（x+y）（xy-1）

=（xy-1）（xy-x-y+1）

=（xy-1）（x-1）（y-1）

既然x≥1，y≥1，所以（xy-1）（x-1）（y-1）≥0，从而所要证明的不等式成立。

（2）设logab=x，logbc=y，由对数的换底公式得，

于是，所要证明的不等式即为

其中

故由（1）知所要证明的不等式成立。

解：（Ⅰ）由|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，

∴0＜x＜1，

集合M=（0，1）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）及a，b∈M知 0＜a＜1，0＜b＜1，

所以（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）＞0，

故 ab+1＞ab．

解：∵

又且a、b∈R

∴b>a>0

又x>y>0，

∴bx>ay

∴

即。

解：（1）当n=1时，f（1）=1，，f（1）＞g（1），

当n=2时，，，f（2）＞g（2），

当n=3时，，g（3）=2，f（3）＞g（3）．

（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N*），即．

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，上面已证．

②假设当n=k时，猜想成立，即

则当n=k+1时，=；

而，

下面转化为证明：

只要证：，

需证：（2k+3）2＞4（k+2）（k+1），

即证：4k2+12k+9＞4k2+12k+8，此式显然成立．

所以，当n=k+1时猜想也成立．

综上可知：对n∈N*，猜想都成立，即成立．

解：（1）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G

∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，

∴AB⊥PQ，AB⊥B1P

∴∠B1PG为所求二面角的平面角

过C1作C1H⊥PQ，垂足为H

由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形

，又

∴，

即所求二面角的正切值为。

（2）V估＜V

证明： ∵a＞c，b＞d，

∴

∴V估＜V。

解：（1）当n=1时，，不等式成立

假设n=k成立，成立

当n=k+1时，

∴时，时成立

综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立。

（2）

所以。