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(Ⅰ)解：由题意得|x2-1|＞1，x2-1＜-1或x2-1＞1，即x2＜0或x2＞2，

∴x的取值范围是(-∞，-)∪(，+∞)。

(Ⅱ)证明：当a、b是不相等的正数时，

，

又，

则，

于是，

∴a3+b3比a2b+ab2远离。

(Ⅲ)解：若|sinx|＞|cosx| ，即sin2x＞cos2x，cos2x＜0，

；

同理，若|cosx|＞|sinx|，则，

于是，函数f(x)的解析式是，

函数f(x)的大致图象如下：

函数f(x)的最小正周期T=2π，函数f(x)是非奇非偶函数；

当x=2kπ或时，函数f(x)取得最大值1；

当x=2kπ+π或时，函数f(x)取得最小值-1；

函数f(x)在区间上单调递增；

在区间

上单调递减。

解：（1）在中，令n=1，可得，

，即

当时，，

∴

∴

即

∵

∴

即当时，

又

∴数列是首项和公差均为1的等差数列

于是

∴。

（2）由（1）得，

所以 ①

 ②

由①-②得

∴

∴

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由 

可猜想当时，证明如下：

（i）当n=3时，成立。

（ii）假设时

所以当时猜想也成立

综合（i）（ii）可知 ，对一切的正整数，都有

∴＞0

解：（Ⅰ），

∴，

，

∴；

（Ⅱ）；

（Ⅲ），

，

，

当n=19时，Pn=Qn；

当1≤n≤18时，Pn＜Qn；

当n≥20时，Pn＞Qn。

解：（1）

∴

显然有

∴是T点列；

（2）在△中

∵点A2在点A1的右上方

∵为T点列

∴

∴

则

∴

∴△为钝角三角形；

（3）

∴ ①

 ②

同理 ③

由于为T点列，于是 ④

由①、②、③、④可推得

∴

即。

解：（1）由已知得an+1=an+1，即an+1-an=1，

又a1=1

所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列

故an=1+（a-1）×1=n。

 （2）由（1）知：an=n从而bn+1-bn=2nbn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+···+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+···+2+1

==2n-1

因为=（2n-1）（2n+2-1）-（2n+1-1）2=（22n+2-2n-2n+2+1）-（22n+2-2·2n+1+1）=-2n＜0

∴bn·bn+2＜bn+12。

解：（1）由已知，解得，

∴。

（2）由于， ①

令n=1，得， 解得，

当n≥2时，，②

①-②得，

∴，

又，

∴，

∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列。

（3）由（2）可得，

，

，

∵n≥1，故，

∴。

解：(1)由于；

当n≥2时，，

∴，

又当x≥n时，，∴，

∴数列{bn}是等比数列，其首项为1，公比为，

∴；

(2)由(1)知，

∴，

由得，即，

∴，即n≥3，

又n≥3时，成立，即，

由于恒成立，

因此，当且仅当n≥3时，。

解：（Ⅰ）因为，

所以q=2（舍负），

所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，

所以数列{bn}是一个以为首项，1为公差的等差数列，

所以。

（Ⅲ）因为，

所以当n=1、2时，，即；

当n≥3时，，即。

（Ⅰ）证明：由题设，

得，n∈N*，

又，

所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，

于是数列{an}的通项公式为，

所以数列{an}的前n项和；

（Ⅲ）证明：对任意的n∈N*，

，

所以不等式，对任意n∈N*皆成立．

解：（1）得（n∈N*）

又

故（n∈N*）

从而。

（2）由（1）知

两式相减得

所以。

（3）

于是确定与的大小关系等价于比较与的大小

时，

时，

时，

令

时，g（x）为增函数

所以时，，

综上所述，2时，

时，。

解：(Ⅰ)由|2x-1|＜1得-1＜2x-1＜1，解得0＜x＜1，

所以M={x|0＜x＜1}．

(Ⅱ)由(Ⅰ)和a，b∈M可知0＜a＜1，0＜b＜1，

所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)＞0，

故ab+1＞a+b。

（1）证明：由题意得：ax2+（2a﹣1）x=0（a≠0）有唯一解，得

∴f（x）=

∵f（xn）=xn+1（n∈N﹡）

∴

∴，即

∴数列{}是等差数列；

（2）解：由，即，

解得x1=1故，即

∴，

∴

∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=（1﹣+﹣+…+）=

（3）解：（理）∵

∴原不等式即为对一切n∈N*，

不等式恒成立，

设，

则h（n）＞0

即h（n）随n递增，

故，

所以k的最大值为

解：（Ⅰ）因为 =，所以a2=a1b2=．所以P2（ ，）．

所以过点P1，P2的直线l的方程为 2x+y=1．

（Ⅱ）∵已知点Pn（an，bn）（n∈N）在P1，P2两点确定的直线l上，

∴2an+bn=1．由an+1=anbn+1 可得 an+1=an（1﹣2an+1），

∴=，即﹣=2，

故{}是公差等于2的等差数列．所以=1+2（n﹣1）=2n﹣1，所以an=．

（Ⅲ）由上可得 bn=1﹣2an=．

依题意 k （1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an） 恒成立．

设F（n）=（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an），

所以只需求满足 kF（n）的F（n）的最小值．

∴==（1+a n+1）==＞1，

所以F（n）（x ∈N*）为增函数．

所以F（n）min=F（1）==．

所以 k．所以kmax=．

解：（1）

而x1+x2≥2

又因为a＜0

所以

即成立。

（2）由恒成立

即只要成立

又x∈[1，e]，易知

令

令

h（x） min=h（2）=2-ln2>0，

∴ g'（x）>0

所以g（x）在x∈[1，e]上为增函数

即。