- 不等式和绝对值不等式
- 共3272题
若a＞0，b＞0，求证：abba≤（ab）
正确答案
证明：要证明abba≤（ab）
只要
a＞b＞0，则
0＜a＜b，则0＜
a=b＞0，则
∴
∴abba≤（ab）
解析
证明：要证明abba≤（ab）
只要
a＞b＞0，则
0＜a＜b，则0＜
a=b＞0，则
∴
∴abba≤（ab）
设a，b，c，d都是正数，且x=
正确答案
证明：∵（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=（ a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）-（a2c2+2abcd+b2d2）
=（ad-bc）2≥0，
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 成立，又a，b，c，d都是正数，
∴
同理
∴xy≥
解析
证明：∵（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=（ a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）-（a2c2+2abcd+b2d2）
=（ad-bc）2≥0，
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 成立，又a，b，c，d都是正数，
∴
同理
∴xy≥
已知a，b∈（0，+∞），求证：（a+b）（
正确答案
解：（a+b）（
∵a、b∈（0，+∞），
∴
因此，（a+b）（
即（a+b）（
当且仅当a=b时，等号成立．
解析
解：（a+b）（
∵a、b∈（0，+∞），
∴
因此，（a+b）（
即（a+b）（
当且仅当a=b时，等号成立．
设a，b为不相等的实数，求证：（a4+b4）（a2+b2）＞（a3+b3）2．
正确答案
证明：根据柯西不等式，有（a4+b4）（a2+b2）≥（a2•a+b2•b）2=（a3+b3）2．
∴（a4+b4）（a2+b2）≥（a3+b3）2．
∵a，b为不相等的实数，
∴（a4+b4）（a2+b2）＞（a3+b3）2．
解析
证明：根据柯西不等式，有（a4+b4）（a2+b2）≥（a2•a+b2•b）2=（a3+b3）2．
∴（a4+b4）（a2+b2）≥（a3+b3）2．
∵a，b为不相等的实数，
∴（a4+b4）（a2+b2）＞（a3+b3）2．
已知|a|≠|b|，证明：
正确答案
证明：要证明：
只需证明：（|a|-|b|）|a+b|≤（|a|+|b|）|a-b|
因为|a|-|b|≤|a-b|
所以（|a|-|b|）|a+b|≤|a2-b2|
因为|a+b|≤|a|+|b|
所以|a2-b2|≤（|a|+|b|）|a-b|
即（|a|-|b|）|a+b|≤|a2-b2|≤（|a|+|b|）|a-b|
所以（|a|-|b|）|a+b|≤（|a|+|b|）|a-b|
所以
解析
证明：要证明：
只需证明：（|a|-|b|）|a+b|≤（|a|+|b|）|a-b|
因为|a|-|b|≤|a-b|
所以（|a|-|b|）|a+b|≤|a2-b2|
因为|a+b|≤|a|+|b|
所以|a2-b2|≤（|a|+|b|）|a-b|
即（|a|-|b|）|a+b|≤|a2-b2|≤（|a|+|b|）|a-b|
所以（|a|-|b|）|a+b|≤（|a|+|b|）|a-b|
所以
证明：当x＞0时，有1+
正确答案
证明：由于x＞0，要证1+
即证（1+
即证1+x+
即为
则有当x＞0时，有1+
解析
证明：由于x＞0，要证1+
即证（1+
即证1+x+
即为
则有当x＞0时，有1+
设函数f（x）=-x3+3mx+1+m（m∈R），且f（x）+f（-x）=4对任意x∈R恒成立．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，3]上的最大值；
（Ⅲ）设实数a，b，c∈[0，+∞）且a+b+c=3，证明：
正确答案
解：（Ⅰ）∵对任意x∈R都有f（x）+f（-x）=4对任意x∈R恒成立，
∴f（0）=2，即m=1…（2分）
（Ⅱ）∵m=1，故f（x）=-x3+3x+2，
∴f′（x）=-3x2+3，令-3x2+3=0得：x1=-1，x2=1…（5分）
若-1＜x＜1，f′（x）＞0，若x＞1，f′（x）＜0，当x=1或x=-1，f′（x）=0，
∴f（x）=-x3+3x+2在（-1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
∴f（x）极大值=f（1）=4，
又f（-1）=1-3+2=0，
f（3）=-27+9+2=-16．
∴函数f（x）在[-1，3]上的最大值为4；…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得m=1，∴f（x）=-x3+3x+2=（1+x）2（2-x），…（10分）
由（Ⅱ）知，当x∈[0，3]时，（1+x）2（2-x）≤4，
当a，b，c∈[0，+∞）且a+b+c=3时，0≤a≤3，0≤b≤3，0≤c≤3，
∴
解析
解：（Ⅰ）∵对任意x∈R都有f（x）+f（-x）=4对任意x∈R恒成立，
∴f（0）=2，即m=1…（2分）
（Ⅱ）∵m=1，故f（x）=-x3+3x+2，
∴f′（x）=-3x2+3，令-3x2+3=0得：x1=-1，x2=1…（5分）
若-1＜x＜1，f′（x）＞0，若x＞1，f′（x）＜0，当x=1或x=-1，f′（x）=0，
∴f（x）=-x3+3x+2在（-1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
∴f（x）极大值=f（1）=4，
又f（-1）=1-3+2=0，
f（3）=-27+9+2=-16．
∴函数f（x）在[-1，3]上的最大值为4；…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得m=1，∴f（x）=-x3+3x+2=（1+x）2（2-x），…（10分）
由（Ⅱ）知，当x∈[0，3]时，（1+x）2（2-x）≤4，
当a，b，c∈[0，+∞）且a+b+c=3时，0≤a≤3，0≤b≤3，0≤c≤3，
∴
若关于x的不等式|x-a|＜2-x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：|x-a|＜2-x2且 0＜2-x2在同一坐标系画出y=2-x2（x＜0，y＜0）和 y=|x|两个图象
将绝对值函数y=|x|向右移动当左支经过 （0，2）点，a=2
将绝对值函数y=|x|向左移动让右支与抛物线相切 （-
故实数a的取值范围是（-
故选C．
不等式|3x-1|＞x的解集是______．
正确答案
（-∞，
解析
解：原不等式等价于3x-1＞x ①，或3x-1＜-x ②．
解①求得x＞
故答案为：（-∞，
以下三个命题：
①若|a-b|＜1，则|a|＜|b|+1；
②若a，b∈R，则|a+b|-2|a|≤|a-b|；
③若|x|＜2，|y|＞3，则
其中正确命题的序号是______．
正确答案
①②③
解析
解：因为|a-b|＜1，所以|a|-|b|＜1，则|a|＜|b|+1，所以①正确；
若a，b∈R，则|a+b|-2|a|≤|a-b|；所以|a+b|-2|a|≤a+b-2a|=|a-b|；所以②正确；
若|x|＜2，|y|＞3，
正确命题的序号：①②③．
故答案为：①②③．
设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，
证明：（1）ab+bc+ca≤
（2）
正确答案
证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，
可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）
由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，
即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤
（2）
故
即有
故
解析
证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，
可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）
由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，
即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤
（2）
故
即有
故
已知a，b，c∈（0，1）．
（1）求式子（1-a）a的最大值；
（2）求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同时大于
正确答案
解：（1）∵a∈（0，1）
根据基本不等式∴
∴a（1-a）的最大值是
（2）证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a同时大于
即
三式同向相乘得
∵a∈（0，1），∴（1-a）a＞0，又由（1）知
同理
与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．
即得证．
解析
解：（1）∵a∈（0，1）
根据基本不等式∴
∴a（1-a）的最大值是
（2）证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a同时大于
即
三式同向相乘得
∵a∈（0，1），∴（1-a）a＞0，又由（1）知
同理
与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．
即得证．
以下方法不能用于证明不等式的是（ ）
正确答案
解析
解：随机抽样法是抽样的一种方法，不能用于证明不等式；比较法、综合法、分析法是直接证明不等式的方法，反证法是间接证明不等式的方法．
故选B．
已知a、b∈R，求证：a2+b2+1≥a+b-ab．
正确答案
证明：∵a2+b2≥-2ab，a2+1≥2a，b2+1≥2b，
∴把以上三个式子相加得：2（a2+b2+1）≥2（-ab+a+b）
∴a2+b2+1≥a+b-ab．
解析
证明：∵a2+b2≥-2ab，a2+1≥2a，b2+1≥2b，
∴把以上三个式子相加得：2（a2+b2+1）≥2（-ab+a+b）
∴a2+b2+1≥a+b-ab．
已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：
正确答案
证明：要证 
即证a+b+1+2
只要证
也就是要证：ab+
即证ab≤
∵a＞0，b＞0，a+b=1．
∴1=a+b≥2，∴ab≤
故
解析
证明：要证
即证a+b+1+2
只要证
也就是要证：ab+
即证ab≤
∵a＞0，b＞0，a+b=1．
∴1=a+b≥2，∴ab≤
故
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