- 不等式和绝对值不等式
- 共3272题
（1）已知x，y，z∈R，且x+y+z=8，x2+y2+z2=24，求证：
（2）已知a1，b1，x1，x2∈R+，ab=1，x1+x2=2，求证：（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥4
（3）已知
正确答案
证明：（1）∵x，y，z∈R，x+y+z=8，x2+y2+z2=24，∴y+z=8-x，y2+z2=24-x2．
又由柯西不等式可知（y2+z2）（1+1）≥（y+z）2，即（24-x2）（1+1）≥（8-x）2，
化简后可得
（2）∵a1，b1，x1，x2∈R+，ab=1，x1+x2=2，
∴
∴（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥4．
（3）∵a．b．c．d∈R+a+b+c+d=1，
∴
解析
证明：（1）∵x，y，z∈R，x+y+z=8，x2+y2+z2=24，∴y+z=8-x，y2+z2=24-x2．
又由柯西不等式可知（y2+z2）（1+1）≥（y+z）2，即（24-x2）（1+1）≥（8-x）2，
化简后可得
（2）∵a1，b1，x1，x2∈R+，ab=1，x1+x2=2，
∴
∴（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥4．
（3）∵a．b．c．d∈R+a+b+c+d=1，
∴
已知a＞0，b＞0，求证下列各式：
（1）
（2）a+b≥
正确答案
证明：（1）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0且a2+b2≥2ab…（1分）
∴
∴
（2）∵a＞0，b＞0，∴由（1）可知，a+b≤2
∴
当且仅当
∴a+b≥
解析
证明：（1）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0且a2+b2≥2ab…（1分）
∴
∴
（2）∵a＞0，b＞0，∴由（1）可知，a+b≤2
∴
当且仅当
∴a+b≥
若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立”，则称f（x）为优美函数．在下列四个函数中，优美函数是（ ）
Af（x）=|x|
B
Cf（x）=2x
Df（x）=x2
正确答案
解析
解：在区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），分别验证下列4个函数．
对于A：f（x）=|x|，|f（x2）-f（x1）|=||x2|-|x1||=|x2-x1|（因为故x1和x2大于0）故对于等于号不满足，故不成立．
对于B：
对于C：f（x）=2x，|f（x2）-f（x1）|=2|x2-x1|＜|x2-x1|．不成立．对于D：f（x）=x2，|f（x2）-f（x1）|=|x22-x12|=（x2+x1）|x2-x1|＞|x2-x1|不成立．
故选B．
（1）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中，a，b，c均为整数，且f（0），f（1）均为奇数．求证：f（x）=0无整数根．
（2）已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求证：
正确答案
证明：（1）f（0）=c为奇数，
f（1）=a+b+c为奇数，则a+b为偶数，
所以a，b同奇偶，
假设整数根t，所以f（t）=0 即at2+bt+c=0，
若a，b同为偶数，则at2+bt为偶数，
所以at2+bt+c为奇数可得at2+bt+c≠0
与at2+bt+c=0矛盾；
若a，b同为奇数，若t为偶数则at2+bt为偶数，
若t为奇数则at2+bt为偶数，
所以 at2+bt+c为奇数 可得at2+bt+c≠0与at2+bt+c=0矛盾．
综上所述方程f（x）=0无整数根；
（2）a，b，c∈R+，a+b+c=1，
即有
≥3
当且仅当a=b=c，取得等号．
即有
解析
证明：（1）f（0）=c为奇数，
f（1）=a+b+c为奇数，则a+b为偶数，
所以a，b同奇偶，
假设整数根t，所以f（t）=0 即at2+bt+c=0，
若a，b同为偶数，则at2+bt为偶数，
所以at2+bt+c为奇数可得at2+bt+c≠0
与at2+bt+c=0矛盾；
若a，b同为奇数，若t为偶数则at2+bt为偶数，
若t为奇数则at2+bt为偶数，
所以 at2+bt+c为奇数 可得at2+bt+c≠0与at2+bt+c=0矛盾．
综上所述方程f（x）=0无整数根；
（2）a，b，c∈R+，a+b+c=1，
即有
≥3
当且仅当a=b=c，取得等号．
即有
选作题（请在下列2小题中选做一题，全做的只计算第（1）题得分）
（1）圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为______．
（2）若不等式|3x-b|＜4的解集中的整数有且仅有0，1，2，则b的取值范围是______．
正确答案
x-y-2=0
（2，4）
解析
解：（1）∵圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，故它们的直角坐标方程为 x2+y2=4x x2+y2=-4y，
故圆心坐标分别为（2，0）、（0，-2），故经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为
故答案为 x-y-2=0．
（2）由不等式|3x-b|＜4可得 
再由解集中的整数有且仅有0，1，2，可得-1≤
解得-1≤b＜4，且 2＜b≤5，故有2＜b＜4，
故b的取值范围是（2，4），
故答案为 （2，4）．
以下命题正确的是______（填序号）
①若||x-1|-|x+1||＜0对任意实数x均成立，则a的范围是a≥2；
②若y=lg（ax2+ax+1）的值域为R，则0≤a≤4；
③若f（x）=ax3+blog2（x+
④若y=-f（x）的图象经过第三、四象限，那么y=f-1（x）的图象经过第一、四象限．
正确答案
③④
解析
解：由于||x-1|-|x+1||＜0 不可能成立，故①不正确．
若y=lg（ax2+ax+1）的值域为R，则ax2+ax+1的最小值小于或等于零，
当a=0时，ax2+ax+1=1，不满足y=lg（ax2+ax+1）的值域为R，故②不正确．
令g（x）=ax3+blog2（x+
由于f（x）=g（x）+2 在（-∞，0）有最小值-5，故g（x）在（-∞，0）有最小值-7，
设x＞0，则-x＜0，∴g（-x）≥-7，∴-g（x）≥-7，∴g（x）≤7，
即g（x）在（0，+∞）上有最大值7，g（x）+2≥9．
故f（x）=g（x）+2 在（0，+∞）上有最大值为9，故③正确．
若y=-f（x）的图象经过第三、四象限，y=-f（x）的图象和y=f（x）的图象关于x轴对称，
故y=f（x）的图象经过第一、二象限．
而y=f（x）的图象和y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，故y=f-1（x）的图象经过第一、四象限，故④正确．
故答案为 ③④．
（选修4-5：不等式选讲）设f（x）=x2-x+l，实数a满足|x-a|＜l，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1．
正确答案
证明：∵f（x）=x2-x+1，|x-a|＜l，
∴|f（x）-f（a）|=|x2-x-a2+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|，
又|x+a-1|=|（x-a）+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1），
∴：|f （x）-f （a）|＜2（|a|+1）成立．
解析
证明：∵f（x）=x2-x+1，|x-a|＜l，
∴|f（x）-f（a）|=|x2-x-a2+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|，
又|x+a-1|=|（x-a）+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1），
∴：|f （x）-f （a）|＜2（|a|+1）成立．
设a，b，c，d∈R，求证：
（1）
（2）|
正确答案
证明：（1）设
则由向量模的性质：|
则有
（2）设
则由向量模的性质：||
则有|
解析
证明：（1）设
则由向量模的性质：|
则有
（2）设
则由向量模的性质：||
则有|
（2015秋•淮安期末）设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+
正确答案
证明：由题设x＞y，可得x-y＞0；
∵2x+
又（x-y）+（x-y）+
∴2x+
解析
证明：由题设x＞y，可得x-y＞0；
∵2x+
又（x-y）+（x-y）+
∴2x+
已知a1，a2，b1，b2∈R+，求证：
正确答案
证明：要证
即证（a1+b1）（a2+b2）≥a1a2+b1b2+2
即证a1b2+b1a2≥2
由a1，a2，b1，b2∈R+，运用基本不等式上式显然成立．
故原不等式成立．
解析
证明：要证
即证（a1+b1）（a2+b2）≥a1a2+b1b2+2
即证a1b2+b1a2≥2
由a1，a2，b1，b2∈R+，运用基本不等式上式显然成立．
故原不等式成立．
在△ABC中，a、b、c为其三条边，试比较a2+b2+c2与2（ab+bc+ac）的大小．
正确答案
证明：a2+b2+c2-2（ab+bc+ac）
=（a-b）2+c2-2c（a+b）
=（a+b）（a-b-2c）+c2；①
∵a、b、c为△ABC中的三边，
∴a+b＞c，又a-b-2c＜0，
∴（a+b）（a-b-2c）＜c（a-b-2c），
∴（a+b）（a-b-2c）+c2＜c（a-b-2c）+c2=ca-cb-c2=-c（b+c-a），②
∵b+c-a＞0，
∴-c（b+c-a）＜0，③
由①②③得：a2+b2+c2＜2（ab+bc+ac）．
解析
证明：a2+b2+c2-2（ab+bc+ac）
=（a-b）2+c2-2c（a+b）
=（a+b）（a-b-2c）+c2；①
∵a、b、c为△ABC中的三边，
∴a+b＞c，又a-b-2c＜0，
∴（a+b）（a-b-2c）＜c（a-b-2c），
∴（a+b）（a-b-2c）+c2＜c（a-b-2c）+c2=ca-cb-c2=-c（b+c-a），②
∵b+c-a＞0，
∴-c（b+c-a）＜0，③
由①②③得：a2+b2+c2＜2（ab+bc+ac）．
已知x，y为正实数，求证：
正确答案
证：因为x，y为正实数，
要证
只要证
即证3x2+12xy+3y2≤2（2x+y）（x+2y） …（3分）
即证x2-2xy+y2≥0，
即证（x-y）2≥0，显然成立
所以原不等式成立．…（6分）
解析
证：因为x，y为正实数，
要证
只要证
即证3x2+12xy+3y2≤2（2x+y）（x+2y） …（3分）
即证x2-2xy+y2≥0，
即证（x-y）2≥0，显然成立
所以原不等式成立．…（6分）
设函数f（x）=-4x+b，不等式|f（x）|＜6的解集为（-1，2）
（1）求b的值；
（2）解不等式
正确答案
解：（1）∵|f（x）|＜6的解集为（-1，2）
∴
（2）由
①当
②当
③当
∴当m＜-2时，解集为
当m=-2时，解集为空集
当m＞-2时，解集为
解析
解：（1）∵|f（x）|＜6的解集为（-1，2）
∴
（2）由
①当
②当
③当
∴当m＜-2时，解集为
当m=-2时，解集为空集
当m＞-2时，解集为
已知a，b，c∈R+，求证：
正确答案
解析
证明：∵（b+c+a+c+a+b）（
≥3+2+2+2=9，（当且仅当a=b=c时取等号）
∴1+
∴
（文）不等式|2-x|+|x+1|≤a，对∀x∈[1，5]恒成立的实数a的取值范围______．
正确答案
[9，+∞）
解析
解：∵不等式|2-x|+|x+1|≤a，对∀x∈[1，5]恒成立，故|2-x|+|x+1|的最大值小于或等于a．
|2-x|+|x+1|表示数轴上的x对应点到-1和2对应点的距离之和，
故当x∈[1，5]时，只有x=5时，|2-x|+|x+1|取得最大值9，∴a≥9，
故答案为[9，+∞）．
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