热门试卷

（Ⅰ） 当a=-1时，不等式f（x）≥|x+1|+1可化为|x-1|-|x+1|≥1，

化简可得，或，或．

解得x≤-1，或-1＜x≤-，即所求解集为{x|x≤-}．  …（5分）

（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（-x），则g（x）=|x+a|+|x-a|≥2|a|，∴g（x）的最小值为2|a|．

依题意可得2＞2|a|，即-1＜a＜1．

故实数a的取值范围是（-1，1）．    …（10分）

（Ⅰ）∵fn(x)=xn+bx+c，

∴fn′(x)=nxn-1+b

∵b＞0，x＞0，n∈N+

∴fn′（x）＞0

∴函数fn（x）在（0，+∞）上的单调递增；

（Ⅱ）证明：由n＞2，b=1，c=-1，得fn（x）=xn+x-1

∴fn′（x）=nxn-1+1＞0在(，1)上恒成立，

∴fn（x）=xn+x-1在(，1)单调递增，

∵fn（1）=1＞0，fn（）=()n-＜0，

∴fn（x）在区间(，1)内存在唯一的零点；

（Ⅲ）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c

①当b≥2或b≤-2时，即-≤-1或-≥1，此时只需满足|f2（1）-f2（-1）|=|2b|≤4

∴-2≤b≤2，即b=±2；

②当0≤b＜2时，即-1＜-≤0，此时只需满足f2（1）-f2（-）≤4，即b2+4b-12≤0

解得：-6≤b≤2，即b∈[0，2）

③当-2＜b＜0时，即0＜-＜1，此时只需满足f2（-1）-f2（-）≤4，即b2-4b-12≤0

解得：-2≤b≤6，即b∈（-2，0）

综上所述：b∈[-2，2]．

①当x≥1时，原不等式等价于|x-1|-1≥0，即x≥2或x≤0…（3分）

∴x≥2．    …（5分）

②当x＜1时，原不等式等价于-1≥0，即x≥3或x＜0…（8分）

∴x＜0．   …（10分）

综上所述，不等式f（x）-1≥0的解集为（-∞，0）∪[2，+∞）．   …（12分）

设f（x）-2x=a（x+1）（x-3）（a＜0）

（I） 将点（0，3）代入f（x）有a=-1，故f（x）=-x2+4x+3-------------------（3分）

（Ⅱ）   由f（x0）≥-2解得：-1≤x≤5

记“使f（x0）≥-2”为事件A，则其概率为：P(A)==．

则使f（x0）≥-2的概率为．-------------（6分）

（Ⅲ）   设 r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1=ax2+x+1，r（0）=1，对称轴为x=-，

由题意，得其充要条件是⇒-≤a＜0；-------------（9分）

或=1-≤3⇒-5≤a＜-------------（12分）

解得：-5≤a＜0，

故使|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件是-5≤a＜0------------（14分）

解：(1)由题意得f(x)≤1，即|x-3|-2≤1得|x-3|≤3，

因为，

所以x的取值范围是[0，6]；

(2)f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6，

因为，由绝对值的三角不等式得

f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6

=，

于是有m+1≤-2，得m≤-3，

即m的取值范围是(-∞，-3]。

（1）证明：∵二次函数f（x）=ax2+x

∴任取x1，x2∈k，则f()-[f(x1)+f(x2)]=a（）2+-（a+x1+a+x2）=-a(x1-x2)2

∵a＞0，(x1-x2)2≥0，∴a(x1-x2)2≥0

∴f()-[f(x1)+f(x2)]≤0

∴f()≤[f(x1)+f(x2)]

∴当a＞0时，函数f（x）的凹函数；

（2）由-1≤f（x）=ax2+x≤1，则有ax2≥-x-1且ax2≤-x+1．

（i）若x=0时，则a∈k恒成立，

（ii）若x∈（0，1]时，有 a≥--且a≤-+

∴a≥--=-（+）2+且a≤-+=（-）2-，

∵0＜x≤1，∴≥1．

∴当=1时，-（+）2+的最4值为-（1+）2+=-2，（-）2-的最小值为（1-）2-=0

∴0≥a≥-2．

综（i）（ii）知，0≥a≥-2

（Ⅰ）当x＜0时，原不等式可化为-2x+x＜0，解得x＞0，又∵x＜0，∴x不存在．

当0≤x＜时，原不等式可化为-2x-x＜0，解得x＞0，又∵0≤x＜，∴0＜x＜．

当x≥时，原不等式可化为2x-1-x＜1，解得x＜2，又∵x≥，∴≤x＜2．

综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．                       

（Ⅱ）∵f（x）=x2-x+1，实数a满足|x-a|＜1，

故|f（x）-f（a）|=|x2-x-a2+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．

∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

证明：因为函数f（x）=x2-2x，实数|x-a|＜1，

所以：|f（x）-f（a）|=|x2-2x+2a|=|x-a||x+a-2|（5分）

＜|x+a-2|=|（x-a）+2a-2|≤|x-a|+|2a-2|＜1+|2a|+2=2|a|+3

∴|f（x）-f（a）|＜2|a|+3．        （10分）

函数y=cx在R上单调递减⇔0＜c＜1．

不等式x+|x-2c|＞1的解集为R⇔函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1．

∵x+|x-2c|=

∴函数y=x+|x-2c|在R上的最小值为2c．

∴不等式x+|x-2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞．

如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤．

如果P不正确，且Q正确，则c≥1．

∴c的取值范围为（0，]∪[1，+∞）．