- 不等式和绝对值不等式
- 共3272题
设函数f（x）=|x-1|+|x-2|
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若不等式||a+b|-|a-b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．
正确答案
（1）f(x)=
（2）由||a+b|-|a-b||≤2|a|，…（2分）
得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），…（1分）
解得x≤
不等式|x-1|≥kx-2对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为______．
正确答案
当x-1≥0即x＞1时，得：x-1≥kx-2，
解得k≤1+
解得k≥-1-
所以k的取值范围为[-1，1]
故答案为：[-1，1]
已知函数f（x）是R上的减函数，其图象经过点A（-4，1）和B（0，-1），函数f（x）的反函数是f-1（x），则f-1（1）的值为______，不等式|f（x-2）|＜1的解集为______．
正确答案
由图象经过点A（-4，1）得f（-4）=1
函数f（x）的反函数是f-1（x），则f-1（1）的值为：-4；
根据函数f（x）是R上的减函数，其图象经过点A（-4，1）和B（0，-1），得：
当-4＜x＜0时，|f（x）|＜1，
故不等式|f（x-2）|＜1得：-4＜x-2＜0
解得：-2＜x＜2．
故答案为：-4；（-2，2）．
对任意实数x，|x-1|-|x+3|＜a恒成立，则a的取值范围是______．
正确答案
|x-1|-|x+3|≤|（x-1）-（x+3）|=4，
由对任意实数x，|x-1|-|x+3|＜a恒成立，得4＜a，
所以a的取值范围为a＞4．
故答案为：a＞4．
已知a2+b2=2，若a+b≤|x+1|-|x-2|对任意实数a、b恒成立，则x的取值范围是______．
正确答案
由已知，只需|x+1|-|x-2|大于等于a+b的最大值即可．
由于a2+b2=2，令a=
所以2≤|x+1|-|x-2|．可以化为下面的三个不等式组
或
或
综上所述，x的取值范围是[
故答案为：[
若不等式|x+3|-|x+1|≤3a-a2对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是______．
正确答案
由于|x+3|-|x+1|表示数轴上的x对应点到-3对应点的距离减去它到-1对应点的距离，
故它的最大值等于2，故有2≤3a-a2，解得 1≤a≤2，
故实数a的取值范围是[1，2]．
故答案为[1，2]．
自选题：已知函数f（x）=|x-8|-|x-4|．
（Ⅰ）作出函数y=f（x）的图象；
（Ⅱ）解不等式|x-8|-|x-4|＞2．
正确答案
（Ⅰ）f（x）=
图象如下：
（Ⅱ）不等式|x-8|-|x-4|＞2，即f（x）＞2，观察知当4＜x＜8时，存在函数值为2的点．
由-2x+12=2得x=5．
由函数f（x）图象可知，原不等式的解集为（-∞，5）．
已知函数f（x）=
正确答案
当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．
当x≤0时，根据-x2+2x的取值为（-∞，0]，|f（x）|=x2-2x≥ax，
x=0时 左边=右边，a取任意值．
x＜0时，有a≥x-2，即a≥-2．
综上可得，a的取值为[-2，0]，
故答案为[-2，0]．
如果对任意实数x，不等式|x+1|≥kx恒成立，则实数k的范围是______
正确答案
画出y1=|x+1|，y2=kx的图象，由图可看出0≤k≤1．
故应填0≤k≤1．
已知关于x 的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a（其中a>0）。
(Ⅰ)当a=4时，求不等式的解集；
(Ⅱ)若不等式有解，求实数a的取值范围。
正确答案
解：（Ⅰ）当
∴不等式的解集为
（Ⅱ）∵设
故
要使
解得
即a的取值范围是
已知函数f(x)=|3x-2|+x，
（1）求函数f(x)的值域；
（2）若g(x)=|x+1|，解不等式f(x)＞g(x)。
正确答案
解：（1）当
当
所以，f(x)的值域为R；
（2）当x＜-1时，原不等式
当
当
综上，不等式f(x)＞g(x)的解集为
设f（x）=|x|+2|x-a|（a＞0）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≤8．
（2）若f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．
正确答案
（1）当a=1时，f（x）=|x|+2|x-1|=
当x＜0时，由2-3x≤8得，-2≤x＜0
当0≤x≤1时，由2-x≤8得，0≤x≤1
当x＞1时，由3x-2≤8得，1＜x≤
综上所述不等式f（x）≤8的解集为[-2，
（2）∵f（x）=|x|+2|x-a|=
则f（x）在（-∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
∴当x=a时，f（x）取最小值a
若f（x）≥6恒成立，则a≥6
∴实数a的取值范围为[6，+∞）．
选修4-5，不等式选讲，已知f（x）=x2-x+c，设x1，x2∈（0，1），且x1≠x2．求证：|f(x1)-f(x2)|＜
正确答案
证明：因为 f（x）=x2-x+c=(x-
所以，当x∈（0，1）时，-
所以，当x1，x2∈（0，1）时，-
所以，-
（1）计算：[
3
3
8
-23-
5
4
9
0.5+(0.008)-23÷(0.02)-12×(0.32)12]÷0.06250.25；
（2）求不等式x2-6|x|+5≤0的解．
正确答案
（1）原式=[(
=(
=(-
（2）x2-6|x|+5≤0⇔|x|2-6|x|+5≤0⇔（|x|-1）（|x|-5）≤0，
⇔1≤|x|≤5，
解得-5≤x≤-1，或1≤x≤5．
已知函数f(x)=
正确答案
当x≤0时，不等式f（x）＜0变为-|x+1|＜0，即|x+1|＞0，故x≠-1即x∈（-∞，-1）∪（-1，0]；
当x＞0时，不等式f（x）＜0变为x2-1＜0，解得-1＜x＜1，即x∈（0，1）；
综上x∈（-∞，-1）∪（-1，1）；
故应填（-∞，-1）∪（-1，1）；
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