- 不等式和绝对值不等式
- 共3272题
对任意实数x，若不等式|x+2|+|x+1|＞k恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
正确答案
若|x+3|-|x+1|≤a对一切实数x恒成立，则a的范围是（ ）
正确答案
设集合A={x||x-a|＜1，x∈R}，B={x||x-b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足（ ）
正确答案
当a＞b＞c时，下列不等式恒成立的是（ ）
正确答案
设f（x）=|x-1|+|x+1|，若不等式
正确答案
解析
解：由题意可得|x-1|+|x+1|≥
即|a|（|x-1|+|x+1|）≥|a+1|-|2a-1|对任意实数a≠0恒成立．
而|a+1|-|2a-1|≤|a+1+2a-1|=|3a|，
故|a|（|x-1|+|x+1|）≥|3a|，故|x-1|+|x+1|≥3．
∴
x≤-
故答案为 
若不等式|sinx+tanx|＜a的解集为N，不等式|sinx|+|tanx|＜a的解集为M，则M与N的关系是______．
正确答案
M⊆N
解析
解：由于不等式|sinx+tanx|＜a的解集为N，不等式|sinx|+|tanx|＜a的解集为M，
|sinx+tanx|≤|sinx|+|tanx|，∴M⊆N，
故答案为：M⊆N．
“x2-5x+4＜0”是“|x-2|＜1”的（ ）
正确答案
解析
解：“x2-5x+4＜0”即“1＜x＜4”．
“|x-2|＜1”，即“-1＜x-2＜1”，即“1＜x＜3”．
而由“1＜x＜3”成立，能推出“1＜x＜4”成立；但由“1＜x＜4”成立不能推出“1＜x＜3”成立．
故“1＜x＜4”是“1＜x＜3”的必要不充分条件，
即“x2-5x+4＜0”是“|x-2|＜1”的必要不充分条件，
故选B．
已知命题p：不等式|x-4|+|x-3|＜m在实数集R上的解集不是空集，命题q：f（x）=-（5-2m）x是增函数，若p，q中有且仅有一个为真命题，则实数m的取值范围是______．
正确答案
解析
解：若命题p是真命题，由于|x-3|+|x-4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和，
当x在3、4之间时，这个距离和最小，是1，其它情况都大于1．
所以|x-3|+|x-4|≥1，
如果不等式|x-4|+|x-3|＜m 的解集不是空集，所以 m＞1．
若命题q是真命题，即f（x）=-（5-2m）x是增函数，则 0＜5-2m＜1，解得 2＜m＜
由于p，q中有且仅有一个为真命题，故m＞1 和2＜m＜
∴1＜m≤2，或 m≥
故答案为 
实数a，b满足ab＜0，那么（ ）
正确答案
解析
解：用赋值法．令a=1，b=-1，代入检验；
A选项为2＜2不成立，
B选项为0＞2不成立，
D选项为2＜2不成立，
故选C．
对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|2a-b|≥|b|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．
正确答案
解：（1）当b=0时，原不等式恒成立，则x∈R．
（2）当b≠0时，|x-1|+|x-2|≤
设t=
∴t=
∴|x-1|+|x-2|≤
故不等式的解集为[
解析
解：（1）当b=0时，原不等式恒成立，则x∈R．
（2）当b≠0时，|x-1|+|x-2|≤
设t=
∴t=
∴|x-1|+|x-2|≤
故不等式的解集为[
已知m，n∈R+，求证：
正确答案
证明：构造函数y=lnx，
则y′=
即有函数y=lnx在（0，+∞）上是递增且上凸的函数，
由m，n＞0，且
则
=ln
而
即有ln
则有
即有
解析
证明：构造函数y=lnx，
则y′=
即有函数y=lnx在（0，+∞）上是递增且上凸的函数，
由m，n＞0，且
则
=ln
而
即有ln
则有
即有
已知an=
正确答案
证明：∵n＜
∴1+2+…+n＜
∴
∴
解析
证明：∵n＜
∴1+2+…+n＜
∴
∴
若|x-1|+|x-2|+|x-3|≥m恒成立，则m的取值范围为______．
正确答案
（-∞，2]
解析
解：|x-1|+|x-2|+|x-3|表示数轴上的x对应点到1，2，3 对应点的距离之和，当 x=2时，
|x-1|+|x-2|+|x-3|有最小值为2，要使|x-1|+|x-2|+|x-3|≥m恒成立，需 2≥m，即 m≤2，
则m的取值范围为 （-∞，2]，
故答案为（-∞，2]．
已知a＞b＞0，证明：
正确答案
证明：因为a＞b＞0，要证
只需证明
即证
即证
由已知，
故
解析
证明：因为a＞b＞0，要证
只需证明
即证
即证
由已知，
故
选修4-5；不等式选讲
已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
（Ⅰ） 
（Ⅱ）（1+
正确答案
证明：（Ⅰ）∵a+b=1，
∴ab≤
∴
（Ⅱ）（1+
由（Ⅰ）可知
∴
∴（1+
解析
证明：（Ⅰ）∵a+b=1，
∴ab≤
∴
（Ⅱ）（1+
由（Ⅰ）可知
∴
∴（1+
扫码查看完整答案与解析