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解析：（1）由a32=a1a5，

即（a1+2d）2=a1（a1+4d），得d=0.

（2） 解：an=1+3（n-1），如bn=4n-1便为符合条件的一个子数列.   …

因为bn=4n-1=（1+3）n-1=1+3+32+…+3n-1=1+3M,  …………………..9分

这里M=+3+…+3n-2为正整数，

所以,bn=1+3M =1+3 [（M+1）-1]是{an}中的第M+1项，得证.     ……………….11分

（注：bn的通项公式不唯一）

（3） 该命题为假命题.

由已知可得,

因此,,又,

故 ,    由于是正整数，且，则,

又是满足的正整数，则,

,

所以，> ,从而原命题为假命题.

（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”

所以也是该数列的项，且----------1分

故-------------------3分

即。 -------------------4分

（2）不妨设有穷数列的项数为

因为有穷数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，

所以也是该数列的项，-------------------5分

又因为数列是递增数列

-------------------6分

则-------------------8分

故-------------------10分

（3）数列是“兑换数列”。证明如下：

设数列的公差为，因为数列是项数为项的有穷等差数列

若，则

即对数列中的任意一项

-------------------12分

同理可得：若，也成立，

由“兑换数列”的定义可知，数列是 “兑换数列”；-------------------14分

又因为数列所有项之和是，所以，即-------------------18分

（1）.…………………………….  1分

，，当时，不满足条件，舍去.因此          。……………………………. 4分

,,。

…………………………….     6分

（2），

………………………….    8分

，当时等号成立， ………………………….     10分

最小值为，     ………………………….     12分

因此。                 ………………………. 14分

（1）证明：由已知，∴

∵，两边取对数，得

∴是等比数列，公比为2，首项为

（2）由（1）得，∴

∵

∴

（3）∵

（另法：

）

∴

显然，∴

又，∴

解析：（1）设数列的公差为，由,

.解得，=3 ，        ……………2分

∴                                         ……………4分

∵，   ∴Sn==.            ……………6分

（2）

∴              ……………8分

∴                                ……………10分

（3）由(2)知，    ∴，，∵成等比数列.

∴                                  ……………12分

即

当时，7，=1，不合题意；当时，，=16，符合题意；

当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；

……………15分

当时， ，则，而，

所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得成等比数列. ……………17分

综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列. ……………18分[来源:Z,xx,k.Com]

另解：

（3）由(2)知，    ∴，

∵成等比数列. ∴ ，         ……………12分

取倒数再化简得

当时，，=16，符合题意；              ……………14分

，

而，

所以，此时不存在正整数m、n , 且1<m<n,使得成等比数列. ……………17分

综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列.

（1）解：因为数列是等差数列，

所以，，

依题意，有即

解得，，

所以数列的通项公式为（）

（2）证明：由（1）可得，

所以，

所以

，

因为，所以

因为，所以数列是递增数列，

所以，

所以，

（1），不是等比数列；

……………2分

，及成等比数列，

公比为2，        ……………6分

（2），

当为偶数时，

；……………8分

当为奇数时，

.……………10分

因此，……………12分

（3）

。       ……………13分

，                      ……………14分

因此不等式为  3(1-k2)3(-1)2，

k，即k-(2-1)，……………16分

F(n)=-(2-1)单调递减；F(1)= 最大，

，即的最小值为。……………18分

（1）对任意正整数， ，

.

所以数列是首项,公差为等差数列；数列是首项

,公比为的等比数列. 

对任意正整数,,.

所以数列的通项公式

或

对任意正整数,

.

所以数列的前项和为.

或

（2） 

,

从而,由知

①当时, ,即；·

②当时, ,即；

③当时, ,则存在,

使得

从而,得,

，得,即.  

综上可知,符合条件的正整数对只有两对：与

（1）当时，。

图像如图（2分）

基本性质：（每个2分）

奇偶性：既非奇函数又非偶函数；

单调性：在和上分别递增；

零点：；

最值：无最大、小值，（6分）

（2），

当，时，数列单调递增，且此时均大于，

当，时，数列单调递增，且此时均小于，（8分）

因此，数列中的最大项为，（10分）

最小项为，（12分）

（3）根据题意，只需当时，方程有解，

亦即方程有不等于的解，（14分）

将代入方程左边，得左边为，故方程不可能有的解，（16分）

由，解得或，

即实数的取值范围是，（18分）

（1）由已知有，.………………2分

，

，………………5分

所以，

. …………………………………8分

（2）即.由且得.12分

所以或………………………………13分

即或对任意成立，………………………15分

而，且，所以或.…………… 18分

（1）解：由，由复数相等的条件得

因而数列的通项公式为

由得：，即

（2）即对任意的，，注意到必为偶数，记，

这表明对任意的，必存在，使得，则数列的每一项都是数列的项；

而对于，若存在使得，则，此方程的在上无解，这表明数列中至少有第三项不是数列中的项，因而数列是数列的真子数列。

（1）法一：设数列的公差为d

由题意可得

解得a1=1，d=2

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1

法二：设数列的公差是d

∴=

∴an=a5+2（n﹣5）=9+2n﹣10=2n﹣1

∵

当n=1时，

∴b1=

当n≥2时，bn=sn﹣sn﹣1=

=

∴

∴数列{bn}是以为首项，以为公比的等比数列

∴bn==

（2）cn=an•bn=

∴

=lll

两式相减可得，=

=

=

（1）解：由得，，

又因为存在常数，使得数列为等比数列，

则即，所以.

故数列为首项是2，公比为2的等比数列，即.

此时也满足，则所求常数的值为1且.

（2）解：由等比数列的性质得：

（i）当时，；

（ii） 当时，，

所以.

（3）解：注意到是首项、公比的等比数列，是首项、公比的等比数列，则

（i）当时，

；

（ii）当时，

.

即.