热门试卷

设特征向量为对应的特征值为λ，

则 ，即

因为k≠0，所以a＝2.                          

因为，所以，即 ，

所以2＋k＝3，解得 k＝1。

综上，a＝2，k＝1.

（1）依题意，有，，…………………………4分

（2）证明：①当时，可求得，命题成立； ………………………2分

②假设当时，命题成立，即有，……………………………………1分

则当时，由归纳假设及，

得。

即

解得（不合题意，舍去）

即当时，命题成立。  ……………………………………………………………4分

综上所述，对所有，。    ………………… ……………………1分

（3）

，………………………2分

因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即

，…………………………………………………………………………………2分

由题意，有。

所以，。 ……………………………………………………………………2分

（1）设等差数列的公差为d，则依题设d >0

由a2+a7＝16.得                         ①

由得                  ②

由①得将其代入②得.即

      ……6分

（2）由（1）得

=

=1-<1

恒成立      ……13分

（1）数列是等比数列，

于是

（2）由可得

又因为

所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列。  

于是 

因为，即，即

解得即

经过估算，得到的最大值为45

（1），.…………………………2分

成等比数列，,

，解得，…………………………4分

；

所以数列的通项公式为：.…………………………5分

（2），……………………7分

所以

=

=；…………………………11分

所以.…………………………………………12分

解：（1）∵{an}是首项为6﹣12t，公差为6的等差数列，

∴an=（6﹣12t）+（n﹣1）×6=6n﹣12t

而数列{bn}的前n项和为Sn=3n﹣t，所以

当n≥2时，bn=（3n﹣1）﹣（3n﹣1﹣1）=2•3n﹣1，

又∵b1=S1=3﹣t，

∴ 

（2）∵数列{bn}是等比数列，∴b1=3﹣t=2•31﹣1=2，解之得t=1，

因此，bn=2•3n﹣1，且an=6n﹣12 

对任意的n（n∈N，n≥1），由于bn+1=2•3n=6•3n﹣1=6（3n﹣1+2）﹣12，

令cn=3n﹣1+2∈N*，则=6（3n﹣1+2）﹣12=bn+1，所以命题成立 

数列数列{cn}的前n项和为：Tn=2n+=•3n+2n﹣ 

（3）根据（1）的结论，得，

由于当n≥2时，dn+1﹣dn=4（n+1﹣2t）•3n+1﹣4（n﹣2t）•3n=8[n﹣（2t﹣）]•3n，

因此，可得

①若2t﹣＜2，即t＜时，则dn+1﹣dn＞0，可得dn+1＞dn，

∴当n≥2时，{dn}是递增数列，结合题意得d1＜d2，

即6（3﹣t）（1﹣2t）≤36（2﹣2t），解之得≤t≤，

②若2，即，则当n≥3时，{dn}是递增数列，

∴结合题意得d2=d3，4（2t﹣2）×32=4（2t﹣3）×33，解之得t=

③若m（m∈N且m≥3），即+≤t≤+（m∈N且m≥3），

则当2≤n≤m时，{dn}是递减数列，当n≥m+1时，{dn}是递增数列，

结合题意，得dm=dm+1，即4（2t﹣m）×3m=4（2t﹣m﹣1）×3m+1，解之得t=

综上所述，t的取值范围是≤t≤或t=（m∈N且m≥2）

（1）因为是方程的两根，且数列的公差，所以，公差.所以.   （2分）

又当时，有，所以.

当时，有，所以.

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以.        （4分）

（2）由（1）知，

所以，

所以.       （8分）

（3）因为，

则，①

，②

由①-②，得，

整理，得.          （12分）

（1）证明：，设公差为且，公比为，

=常数，为等比数列

（2）由题意得：对恒成立且对恒成立，

 对恒成立                                         

对恒成立                                            

而

或或.               

（3）证明：设

不妨设，

，即.                              

若，满足，

若，则对任给正数M，则取内的正整数时，

，与矛盾.

若，则对任给正数T=，则取内的正整数时=，与矛盾.

，而是等差数列，设公差为，

为定值，为等差数列.

（1）若λ=1，则（Sn+1+1）an=（Sn+1）an+1，a1=S1=1。

又∵数列{an}的各项均为正数，∴=，

∴••…•=••…•，

化简，得Sn+1+1=2an+1，①

∴当n≥2时，Sn+1=2an，②

②﹣①，得an+1=2an，∴=2（n≥2），              

∵当n=1时，a2=2，∴n=1时上式也成立，

∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，an=2n﹣1（n∈N*）， 

（2）令n=1，得a2=λ+1。

令n=2，得a3=（λ+1）2，           

要使数列{an}是等差数列，必须有2a2=a1+a3，解得λ=0   

当λ=0时，Sn+1an=（Sn+1）an+1，且a2=a1=1。

当n≥2时，Sn+1（Sn﹣Sn﹣1）=（Sn+1）（Sn+1﹣Sn），

整理，得=，…（13分）

从而••…•=••…•，

化简，得Sn+1=Sn+1，

∴an+1=1.                         

综上所述，an=1，

∴λ=0时，数列{an}是等差数列。