热门试卷

解：由题意知，矩形ABCD折叠后的图由图可知，F‘点不在平面A'BC上，因此四点不共面，①说法错误；去A'C中点为G，连接F'G，GB，F'E如图所以F'G为三角形A'DC的中位线，∵DC=2EB=2F'G∴F'G平行且等于EB，四边形F'EBG是平行四边形，∴EF'∥GB，GB⊂面A'BC，②正确；∵AB=2AD，∴DE⊥CE，DE为垂线，由面面垂直结论，CE⊥面A'DE，③正确；当面A'DE旋转到与底面垂直时体积最大，为2．

故答案为：②③．

解：如图，在长方体AC1中，

以AC1为斜边构成直角三角形：△AC1D，AC1B，AC1A1，

由长方体的对角线长定理可得

cos2α+cos2β+cos2γ

=．

则sin2α-cos2β-cos2γ=1-（cos2α+cos2β+cos2γ）=0

故答案为：0．

解：根据题意得出几何体如图，

设EM=x，MN=y，几何体的高度为三棱锥的高度，底面如图，F与C点重合，此时只要底面积最大即可得出体积最大，

根据三角形的几何性质得出：=，0＜x＜30，

y=40-x，

∴底面EFMN的面积S=x（40-x）=-x2+40x，0＜x＜30，

根据二次函数得出：x=15时，S的最大值为15×（40-×15）=300，

∴长方体体积最大值为30×300=9000，

故答案为：9000

解：连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，

连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO．

∵M、N为A1B1、A1D1的中点，

∴MN∥EF．而EF⊂面EFBD．

∴MN∥面EFBD．∵PQ∥AO，PQ=AO

∴四边形PAOQ为平行四边形．∴PA∥QO．

而QO⊂平面EFBD，∴PA∥平面EFBD，

且PA∩MN=P，PA、MN⊂面AMN．

∴平面AMN∥平面EFBD，

∴平面AMN与平面EFBD间的距离即E到平面AMN的距离，

设E到平面AMN的距离为h，

有VA-MNE=VE-AMN，S△MNE=×2×4=4，

AM=AN==2，MN==2，根据勾股定理得AG=3，S△AMN=×3×2=6，

VA-MNE=×4×4=．

∴h===．

解：∵正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，

所以球心在上下底面中心的连线的中点上，

AB=a，OA=R，在△OEA中，OE=，AE=，

∵AO2=OE2+AE2，

∴，

∴球的表面积为4πR2=，

故答案为．

解：由于底面一边BC固定于底面上，故倾斜过程中，与BC边垂直的两个面始终平行，且其它面均为平行四边形，满足棱柱的结构特征，故①正确；

水面形成的四边形EFGH的面积会发生改变，故②错误；

E∈AA1时，AE+BF=AA1，故③正确；

故答案为：①③

解：连接A1C、MC可得

S△CMD=S ABCD=，

△A1DM中，A1D=，A1M=MD=

∴S△A1MD=A1M•MDsinA 1MD=

三棱锥的体积：V A1-MCD=V C-A1DM

所以 S△MCD×AA1=S△AD1M×d  

（设d是点C到平面A1DM的距离）

∴d==

故答案为：．