- 空间几何体
- 共15406题
三棱柱ABC-A′B′C′中，若AA′⊥底面ABC，D是CC′的中点，AC=BC，AB=AA′，二面角D-AB-C的大小为60°．且点E在线段AB上，CE⊥BD，试证明
（1）BE=2EA；
（2）求二面角A′-BD-A的余弦值．
正确答案
证明：如下图所示：以边AB的中点O为坐标原点，以有向线段AB所在直线为x轴，
以有向线段OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，如图示：
设AB=2b，CA=CB=a，则
∠DOC=60°，
∴tan60°=
∴b=
∴B（
设E（m，0，0），
∴
∵CE⊥BD，
∴
∴-
∴m=-
∵b=
∴m=-
∴BE=2EA．
解析
证明：如下图所示：以边AB的中点O为坐标原点，以有向线段AB所在直线为x轴，
以有向线段OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，如图示：
设AB=2b，CA=CB=a，则
∠DOC=60°，
∴tan60°=
∴b=
∴B（
设E（m，0，0），
∴
∵CE⊥BD，
∴
∴-
∴m=-
∵b=
∴m=-
∴BE=2EA．
（2010秋•大连校级月考）设M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，则这四个集合的关系是（ ）
正确答案
解析
解：由题意得，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱．
所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱}．
故选B．
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2）PC和NC的长；
（3）此棱柱的表面积；
（4）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反正切函数表示）．
正确答案
解：（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为6的矩形，
其对角线长为
（2）如图1，将侧面BC1旋转120°使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱侧面经过CC1到点M的最短路线．设PC=x，
则P1C=x，在Rt△MAP1中，（3+x）2+42=32⇒x=1，
（3）棱柱的表面积为
（4）连接PP1（如图2），则PP1就是NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连接CH，由三垂线定理得，CH⊥PP1
∴∠NHC所成二面就是平面NMP与平面ABC角的平面角．（10分）
在Rt△PHC中，∵
∴
即∠NHC=arctan2．（12分）
解析
解：（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为6的矩形，
其对角线长为
（2）如图1，将侧面BC1旋转120°使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱侧面经过CC1到点M的最短路线．设PC=x，
则P1C=x，在Rt△MAP1中，（3+x）2+42=32⇒x=1，
（3）棱柱的表面积为
（4）连接PP1（如图2），则PP1就是NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连接CH，由三垂线定理得，CH⊥PP1
∴∠NHC所成二面就是平面NMP与平面ABC角的平面角．（10分）
在Rt△PHC中，∵
∴
即∠NHC=arctan2．（12分）
如图，下列四个平面形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：C折叠后能围成一个正方体，符合题意；
A、B、D折叠后，有两个面重合，不能折成正方体，不符合题意；
故选C．
正确答案
BD⊥AC
解析
解：∵四棱柱A1B1C1D1-ABCD是直棱柱，
∴A1D⊥平面A1B1C1D1，
∴B1D1⊥A1D，若A1B⊥B1D1
则B1D1⊥平面A1BD，
∴B1D1⊥BD，
又由B1D1∥AC，
则有BD⊥AC，
反之，由BD⊥AC亦可得到A1B⊥B1D1
故答案为：BD⊥AC．
已知一个圆柱的侧面展开图是边长为6π和8π的矩形，求该圆柱的表面积．
正确答案
以AB边为底面周长的圆柱时，
底面圆半径是r=
∴表面积是S表=2πr2+2πrh=2π•32+2π•3•8π=18π+48π2；
∴以AD边为底面周长的圆柱时，
底面圆半径是r=
∴表面积是S表=2πr2+2πrh=2π•42+2π•4•6π=32π+48π2．
综上，所求圆柱的表面积是48π2+32π或48π2+18π．
解析
以AB边为底面周长的圆柱时，
底面圆半径是r=
∴表面积是S表=2πr2+2πrh=2π•32+2π•3•8π=18π+48π2；
∴以AD边为底面周长的圆柱时，
底面圆半径是r=
∴表面积是S表=2πr2+2πrh=2π•42+2π•4•6π=32π+48π2．
综上，所求圆柱的表面积是48π2+32π或48π2+18π．
用一个平面截一个长方体，截出的截面是一个三角形，则这个三角形的形状是（ ）
正确答案
解析
解：如图，在图中的长方体，
设OA=a，OB=b，OC=c，AC2=a2+c2，AB2=a2+b2，BC2=b2+c2，
∴cos∠CAB=
∴∠CAB为锐角，
同理∠ACB与∠ABC也为锐角，
所以△ABC为锐角三角形，
故选A．
正确答案
解析
解：当CQ=1时，截面四边形是边长为
故答案为：
在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______•
正确答案
解析
解：设球的半径为r，由正四面体的体积得：
设正方体的最大棱长为a，所以，
故答案为：
棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1及其内部一动点P，集合Q={P||PA|≤1}，则集合Q构成的几何图形为（ ）
正确答案
解析
当集合Q={P||PA|≤1}时，
集合Q构成的几何图形为半径等于1的八分之一球体．
故选：D．
下列命题：
（1）三棱锥的四个面不可以都是钝角三角形；
（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
（3）有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台．
其中正确命题的个数是 （ ）
正确答案
解析
解：（1）可举特例，取以点O为端点的三条线段OA、OB、OC，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=100°，且OA=OB=OC，这时 都是钝角三角形，只有△ABC是等边三角形，可让点C沿OC无限靠近点O，则∠ACB就可趋近于100°，所以，每个面都可以是钝角三角形，故（1）不正确；
（2）对照棱锥的定义，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故（2）也不正确；
（3）棱台是由棱锥用平行于底面的平面所截而得，各侧棱的延长线必须交于一点，故（3）也不正确．
故选A．
过正三棱柱底面一边的截面是（ ）
正确答案
解析
解：截面分两种，
一是与侧棱相交，截面为三角形，
二是与上底面相交，截面为梯形，
故选B．
已知长方体的表面积是24cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6cm，则它的对角线长是（ ）
A
B4cm
C
D
正确答案
解析
解：设长方体的三度为，a，b，c；
由题意可知，2（ab+bc+ac）=24…①
a+b+c=6，…②，
②2-①可得：a2+b2+c2=12，所以长方体的对角线的长为：
故选D．
在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=
正确答案
解析
G（ 
GD⊥EF，所以 x+2y-1=0
DF=
当y=
当y=1时，线段DF长度的最大值是 1
而不包括端点，故y=1不能取；
故答案为：
一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则这个长方体的对角线长是（ ）
A12
B10
C
D
正确答案
解析
解：由题意，长方体的对角线长是
故选C．
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