- 空间几何体
- 共15406题
棱长为2的正四面体ABCD在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x轴、y轴上移动，则棱CD的中点E到坐标原点O的最远距离为（ ）
A2
B2
C
D
正确答案
解析
解：如图，
设AB中点为M，则原点到直线CD的最近距离d等于点M到直线CD的距离加上球M的半径，
∵EB=
则所求距离的最大值为：d=
故选：D．
画出经过PQR的正方体的截面
正确答案
解：对于图（1），分别延长PQ和AD的交于点E，延长PR和AB交于点F，连接EF，交CD，BC于M，K，再连MQ，MK，KR，所得的截面为五边形PQMKR；
对于图（2），由面面平行的性质定理可得截面与相对的两个平面的交线平行，即可作出如图所示的截面为六边形PMQNRK．
解析
解：对于图（1），分别延长PQ和AD的交于点E，延长PR和AB交于点F，连接EF，交CD，BC于M，K，再连MQ，MK，KR，所得的截面为五边形PQMKR；
对于图（2），由面面平行的性质定理可得截面与相对的两个平面的交线平行，即可作出如图所示的截面为六边形PMQNRK．
①任取四个顶点，共面的情况有8种；
②任取四个顶点顺次连接总共可构成10个正三棱锥；
③任取六个表面中的两个，两面平行的情况有5种；
④如图把正方体展开，正方体原下底面A1B1C1D1与标号4对应；
⑤在原正方体中任取两个顶点，这两点间的距离在区间
正确答案
②④⑤
解析
解：任取四个项点，共面的情况有12种，故①错；
任取四个顶点顺次连接总共可构成以每个顶点可以构成8个，
相对面异面的两对角线的四个顶点可构成2个正四面体，
故可构成10个正三棱锥，故②正确；
任取六个表面中的两个，两面平行的情况有3种，故③错误；
如图把正方体展开，正方体原下底面A1B1C1D1与标号4对应，故④正确；
两点点间的距离在区间
这两顶点的连线为正方体的体对角线，共有4种，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
（Ⅰ）证明：AC⊥QP；
（Ⅱ）当S取得最小值时，求cos∠A1QC1的值．
正确答案
解：（Ⅰ）连AC、BD，则AC⊥BD；
∵PB⊥底面ABCD，则AC⊥BP，∴AC⊥平面QPBD．
而QP⊂平面QPBD，∴AC⊥QP．（4分）
（Ⅱ）设O是A1C1与QP的交点，QD1=x、QO=y，则x2+1=y2，S=S1-S2
=
∵令
∴当
此时，
解析
解：（Ⅰ）连AC、BD，则AC⊥BD；
∵PB⊥底面ABCD，则AC⊥BP，∴AC⊥平面QPBD．
而QP⊂平面QPBD，∴AC⊥QP．（4分）
（Ⅱ）设O是A1C1与QP的交点，QD1=x、QO=y，则x2+1=y2，S=S1-S2
=
∵令
∴当
此时，
正确答案
解析
解：由题意正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E、F、G分别为棱BC、C1C、B1C1的中点，O1、O2分别为四边形ADD1A1、A1B1C1D1的中心，
对于A选项，由于O1四边形ADD1A1的中心，故在线D1A上，由于两相交线必共面，所以四点A、C、O1、D1共面；
对于B选项，由图知DE，FG是异面直线，故不可能共面，所以四点．D、E、G、F不在同一个平面内；
对于C选项，由正方体的结构特征知，EF与AD1平行，故两直线共面所以四点A、E、F、D1在同一个平面内；
对于D选项，由正方体的结构知，此四点G、E、O1、O2都在过E且垂直于棱BC的截面内，一定共面．
综上知，D、E、G、F四点不共面
故选B
下面图形中是正方体展开图的是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由正方体表面展开图性质知A是正方体的展开图；
B折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，故不能折成正方体；
C缺少一个正方形；
B折叠后有一个面重合，另外还少一个面，故不成正方体．
故选A．
正三棱柱的底面边长为1，过下底面一边的一个截面与底面成60°的角，且交相对棱于一点，则截面三角形的面积为______．
正确答案
解析
解：∵截面与底面成60°的角，
∴
又∵S底=
故答案为
已知三棱锥P-ABC的底面边长为4
正确答案
解析
在△ABC中，连接BO并延长交AC于D，
∵O为△ABC的中心，∴BD为AC边上的中线，
又AB=BC=AC=
在△PAC中，∵PA=3，PC=5，AC=4
∴
∴
∴
在△PBO中，
∴PO=
故答案为：
①直线A1B与B1C所成的角为60°；
②动点M在表面上从点A到点C1经过的最短路程为1+
③若N是线段AC1上的动点，则直线CN与平面BDC1所成角的正弦值的取值范围是[
④若P、Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体PQB1D1的体积恒为
则上述命题中正确的有______．（填写所有正确命题的序号）
正确答案
①③④
解析
解：①在△A1BD中，每条边都是
又B1C∥A1D，∴直线A1B与B1C所成的角为60°，正确；
②将面AB1与面A1C1展开，那么动点M在表面上从点A到点C1经过的最短路程为AC1，AC1=
③如图，由正方体可得平面BDC1⊥平面ACC1，当N点位于AC1上，且使CN⊥平面BDC1时，直线CN与平面BDC1所成角的正弦值最大为1，
当N与C1重合时，连接CN交平面BDC1所得斜线最长，直线CN与平面BDC1所成角的正弦值最小等于
∴直线CN与平面BDC1所成角的正弦值的取值范围是[
④连接B1P，B1Q，设D1到平面B1AC的距离为h，则h=
则四面体PQB1D1的体积V=
∴正确的命题是①③④．
故答案为：①③④
①CE⊥BD；
②三棱锥E-BCF的体积为定值；
③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；
④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线
其中，正确结论的个数是（ ）
正确答案
解析
∴BD⊥CE，故①正确；
∵点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，
∴三棱锥B-CEF的体积为定值，故②正确；
线段EF在底面上的正投影是线段GH，
∴△BEF在底面ABCD内的投影是△BGH，
∵线段EF的长是定值，
∴线段GH是定值，从而△BGH的面积是定值，故③正确；
设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条，故④对．
故选D．
正确答案
解析
解：设图1中水的高度h2，几何体的高为h1，底面正方形的边长为b；
则图2中水的体积为b2h1-b2h2=b2（h1-h2），
即
所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即D错误．
对于A，往容器内再注入a升水，水面将升高
对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，占容器内空间的一半，
所以水面也恰好经过P点，B正确；
对于C，任意摆放该容器，当水面静止时，P点在长方体中截面上，始终占容器内空间的一半，
所以水面都恰好经过点P，C正确．
故选：D．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵V1：V2：V3=1：2：3，
∴AE=EE1=E1B=
∵AB=6，AA1=3，
∴A1E=
∴截面A1EFD1的面积S=A1E•AD=4
故选A
在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
这些几何形体是（ ）
正确答案
解析
③正确，如四面体A1ABD；
④正确，如四面体A1C1BD；
⑤正确，如四面体B1ABD；
则正确的说法是①③④⑤．
故选D
P是正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱CC1上一点（侧棱端点除外），则∠APB的大小满足（ ）
正确答案
解析
解：由题意如图
设AB=2，CC1=h，∵P是正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱CC1上一点，则BP=
∴cos∠APB=
∴
∴0°＜∠APB＜60°；
故选：A．
（理）水平桌面上放置着一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD-A1B1C1D1，其中装有
①把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD保持在桌面上，这个过程中，水的形状始终是柱体；
②在①中的运动过程中，水面始终是矩形；
③把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内一个定点；
④在③中水与容器的接触面积始终不变．以上说法正确的是（ ）
正确答案
解析
②在①中的运动过程中，水面四边形EFGH的对边始终保持平行，且EF⊥FG，故水面始终是矩形，②是正确的；
③由于始终装有
④在③中水与容器的接触时，由于水的体积是定值，所以水与容器的接触面的面积是正方体表面积的一半，故始终保持不变，所以正确．
故选A．
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