- 空间几何体
- 共15406题
已知正四棱锥P-ABCD的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的侧面积是______．
正确答案
解析
解：棱锥的底面对角线的长为l：
斜高为：
所以四棱锥的侧面积：
故答案为：
k棱柱有f（k）个对角面，则k+1棱柱的对角面个数f（k+1）为（ ）
正确答案
解析
解：因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作（k-3）个对角面，k条侧棱可作k（k-3）个对角面，
由于这些对角面是相互之间重复计算了，
所以共有k（k-3）÷2个对角面，
所以可得f（k+1）-f（k）=（k+1）（k+1-3）÷2-k（k-3）÷2=k-1，
故f（k+1）=f（k）+k-1．
故选：A．
①过B1C且与BD平行的平面有且只有一个；
②过B1C且与BD垂直的平面有且只有一个；
③B1C与平面A1C1CA所成的角等于30°；
④与B1C所成角为60°的面对角线共有8条．
上述命题中，正确的是______．（填上所有正确命题的序号）
正确答案
3
解析
解：正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C是正方体的一条面对角线．
则过B1C且与BD平行的平面有且只有B1CD1一个，故①正确；
∵B1C与BD的夹角为60°，故过B1C且与BD垂直的平面不存在，故②错误；
B1C与平面A1C1CA所成的角等于30°，故③正确；
与B1C所成角为60°的面对角线共有8条，故④正确．
故答案为：3
正确答案
解析
解：∵BE⊂平面BB1D1D，AC⊥BE，∴A对
∵EF∥BD，BD⊂面ABCD，EF⊄面ABCD，∴B对，
∵S△BEF=
∴VA-BEF=
∵点A到直线EF的距离为
故选D．
下列结论正确的是______
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．
正确答案
④
解析
解：①错误．如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．
②错误．如图（2）（3）所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．
③错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．
④正确．
答案：④
正确答案
解析
解：将直三棱柱ABC-A1B1C1沿棱BB1展开成平面连接AC1，与BB1的交点即为满足AM+MC1最小时的点M，
由于AB=1，BC=2，AA1=3，再结合棱柱的性质，可得BM=
由图形及棱柱的性质，可得AM=
cos∠AMC1=
故sin∠AMC1=
△AMC1的面积为
故答案为
正确答案
解析
解：在底面ABCD中，∵四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=3BC，
延长DC与AB相交于P，则P∈DC，连结A1P交BB1于Q，故直线A1Q与直线CD相交，③不正确
∵DC⊂平面α，
∴P∈α，
∵AD∥BC，∴QC∥A1D，①正确；
∵AD=3BC，
∴BC：AD=PB：AP=1：3，
∵A1A∥BQ
∴△A1AP∽△BQP，
∴
又AA1=BB1
∴B1Q=2QB，②正确．
设BC=a，AA1=h，AD，BCd的距离为b，则四棱柱的体积为
故选：B．
已知三棱锥S-ABC的侧棱和底面边长均为a，SO⊥底面ABC，垂足为O，则SO=______（用a表示）．
正确答案
解析
在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=AB=AC=BC=a，
且SO⊥ABC，
∴OC=
∴SO=
故答案为：
已知正三棱锥V-ABC中，底面边长为8，侧棱长为2
正确答案
设O是正△ABC的中心，则VO为棱锥的高，
连接AO并延长，交BC于点D，连接VD，则VD是棱锥的斜高，
如图所示；
AD=
AO=
∴棱锥的高为
VO=
棱锥的斜高为
VD=
解析
设O是正△ABC的中心，则VO为棱锥的高，
连接AO并延长，交BC于点D，连接VD，则VD是棱锥的斜高，
如图所示；
AD=
AO=
∴棱锥的高为
VO=
棱锥的斜高为
VD=
已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足PA、PB、PC两两垂直，则PC•AB的最大值为（ ）
A0
B
C2
D
正确答案
解析
设PA=a，PB=b，PC=c，
由题设知，侧面积S=
∴2S=ab+bc+ca；
该三棱锥是内接球的长方体的一部分，体对角线是球的直径2，
∴a2+b2+c2=4；
由基本不等式可得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca；
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca；当且仅当a=b=c=
此时PC•AB取得最大值，为
PC•AB=c•
故选：D．
正四棱锥P-ABCD的侧棱长和底面边长都等于a，有两个正四面体的棱长也都等于a．当这两个正四面体各有一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（ ）
正确答案
解析
解：正四面体每相邻二个面所成的二面角为arccos
题目所说的正四棱锥的相邻二个侧面所成的二面角为arccos（-
所以得到的新多面体为五面体．
故选A．
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在直线CC1上是否存在一点N，使得MN⊥AB1？若存在，求出它的位置，若不存在，请说明理由．
正确答案
解：以A为原点，以AB顺时针旋转30°得到的直线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，
∴A（0，0，0），B1（
设在侧棱CC1上是否存在点N（0，1，z），使得MN⊥AB1，即使得异面直线AB1与MN所成的角为90°，
∴
∵异面直线AB1与MN所成角为90°，
∴
解得z=
∴在侧棱CC1上是存在点N，使异面直线AB1与MN所成的角为90°，
即在侧棱CC1上是存在点N，使得MN⊥AB1
解析
解：以A为原点，以AB顺时针旋转30°得到的直线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，
∴A（0，0，0），B1（
设在侧棱CC1上是否存在点N（0，1，z），使得MN⊥AB1，即使得异面直线AB1与MN所成的角为90°，
∴
∵异面直线AB1与MN所成角为90°，
∴
解得z=
∴在侧棱CC1上是存在点N，使异面直线AB1与MN所成的角为90°，
即在侧棱CC1上是存在点N，使得MN⊥AB1
空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为60°，则四边形EFGH的面积是______．
正确答案
解析
解：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=
同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=
所以EH∥FG，且EH=FG．
所以四边形EFGH为平行四边形．
因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°
所以EF=EH．所以四边形EFGH为菱形，∠EFG=60°．
∴四边形EFGH的面积是2×
故答案为：
（文科）若正四棱锥的各条棱长都相等，则到它的五个顶点距离相等的平面有（ ）
正确答案
解析
解：如下图所示，正四棱锥的各条棱长都相等，
E，F，G，H，P，Q，M，N分别是棱PA，PB，PC，PD，AB，BC，CD，DA的中点
则得到它的五个顶点距离相等的平面有：
平面EFGH，平面EFQN，平面HGQN，平面FGMP，平面EHMP共5个
故选D
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与BD1所在直线所成的角为90°是（ ）
正确答案
解析
解：如图，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BD1所成的角是∠BD1D，不是90°；
由DD1⊥AC，BD⊥AC，且BD∩DD1=D，
∴AC⊥平面BDD1，
∴BD1⊥AC；
同理BD1⊥B1C，即B1C与BD1所成的角为90°；
A1C与BD1所成的角是∠A1OD1，不是90°；
CD与BD1所成的角是∠BD1C1，不是90°；
综上，与BD1所在直线所成的角为90°的是B1C；
故选：B．
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