- 空间几何体
- 共15406题
A平面DMN⊥平面BCC1B1
B三棱锥A1-DMN的体积为定值
C△DMN可能为直角三角形
D平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，
正确答案
解析
解：如图，
当M、N分别在BB1、CC1上运动时，若满足BM=C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，A正确；
当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，∴棱锥N-A1DM的体积不变，即三棱锥A1-DMN的体积为定值，B正确；
若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，C错误；
当M、N分别为BB1，CC1中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C1BC，等于
∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，
故选：C．
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PAE；
③BC∥平面PAE；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°．
正确答案
②④
解析
解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴①不成立；
∵PA⊥平面ABC，AE⊥AB，∴平面PAB⊥平面PAE，故②成立；
∵BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，即③不成立．
在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故④成立．
故答案为：②④．
将一个直三棱柱分割成三个三棱锥，试将这三个三棱锥分离．
正确答案
解：如右图直三棱柱ABC-A′B′C′，连接A′B，B‘C，CA′．
则截面A′CB与面A′CB′，将直三棱柱分割成三个三棱锥即A′-ABC，A′-BCB′，C-A′B′C′．
解析
解：如右图直三棱柱ABC-A′B′C′，连接A′B，B‘C，CA′．
则截面A′CB与面A′CB′，将直三棱柱分割成三个三棱锥即A′-ABC，A′-BCB′，C-A′B′C′．
在△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一点P到三顶点A，B，C的距离都是14，则P到平面ABC的距离是（ ）
正确答案
解析
解：作PO⊥平面ABC，交平面于O点，∵PA=PB=PC，OA=OB=OC，
斜线相等，射影也相等．O点为三角形ABC外心，
在三角形ABC中，据余弦定理，BC=21，再据正弦定理，
在Rt△AOP中OP2=PA2-OA2，解之OP=7．
故选B．
正三棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则它的高h=______．
正确答案
解析
解：如图，在正三棱锥P-ABC中，底面边长AB=2，侧棱长PA=3，
设顶点P在底面的射影为O，连接CO并延长，交AB与点D；
连接PD，则CD⊥AB，PD⊥AB；
在正△ABC中，∵AB=2，∴CD=
OD=
PD=
∴PO=
故答案为：
（1）AD⊥PB；
（2）若E为PB边的中点，过三点A、D、E的平面交PC于点F，证明：F为PC的中点．
正确答案
证明：（1）取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，
∴PM⊥AD，
又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，
∴三角形ABD是等边三角形，
∴AD⊥BM，
∴AD⊥平面PBM，
∴AD⊥PB（7分）；
（2）∵底面ABCD是菱形，
∴AD∥BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
AD⊂平面ADFE，平面ADFE∩平面PBC=EF，
∴AD∥EF，
∵AD∥BC．
∴BC∥EF，
又E为PB的中点，故F为PC的中点． （14分）
解析
证明：（1）取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，
∴PM⊥AD，
又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，
∴三角形ABD是等边三角形，
∴AD⊥BM，
∴AD⊥平面PBM，
∴AD⊥PB（7分）；
（2）∵底面ABCD是菱形，
∴AD∥BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
AD⊂平面ADFE，平面ADFE∩平面PBC=EF，
∴AD∥EF，
∵AD∥BC．
∴BC∥EF，
又E为PB的中点，故F为PC的中点． （14分）
正确答案
①②
解析
解：把四面体的底面固定不动，沿三条侧棱剪开，展在平面上，即得①，
把四面体的底面和相邻的一个侧面的棱不剪，其余的棱剪开，展开在一个平面上，得到②，
但不论怎么展开，展开图不会是③和④，
故答案为：①②．
（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？
（2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？
（3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？
正确答案
解：（1）当E，F，G，H满足
不妨以E，F，G，H分别为所在边的中点，证明如下：
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH
从而EH綊FG，所以四边形EFGH为平行四边形．
（2）当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC时，可得AC∥EF，BD∥FG，所以EF⊥FG，所以平行四边形EFGH为矩形．
（3）当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC，可得AC∥EF，BD∥FG，所以EF⊥FG，所以平行四边形EFGH为矩形，AC=BD时
EF=FG，四边形EFGH为正方形．
解析
解：（1）当E，F，G，H满足
不妨以E，F，G，H分别为所在边的中点，证明如下：
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH
从而EH綊FG，所以四边形EFGH为平行四边形．
（2）当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC时，可得AC∥EF，BD∥FG，所以EF⊥FG，所以平行四边形EFGH为矩形．
（3）当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC，可得AC∥EF，BD∥FG，所以EF⊥FG，所以平行四边形EFGH为矩形，AC=BD时
EF=FG，四边形EFGH为正方形．
在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
SO⊥平面ABC，SA与SO的平面与平面SBC垂直，
球与平面SBC的切点在SD上，球与侧棱SA没有公共点
所以正确的截面图形为B选项
故选B．
正确答案
解：由题意，设棱台的高为h，补全正三棱锥，其大锥高h‘=3h，小锥h″=2h
则V1=
∵V总=V大-V小=
∴V总：V1：V2=21：4：9
∴V1：V3：V2=4：8：9．
解析
解：由题意，设棱台的高为h，补全正三棱锥，其大锥高h‘=3h，小锥h″=2h
则V1=
∵V总=V大-V小=
∴V总：V1：V2=21：4：9
∴V1：V3：V2=4：8：9．
（1）按下列要求建立函数关系式：
①设AD=xcm，将V表示为x的函数；
②设∠AOD=θ（rad），将V表示为θ的函数；
（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．
正确答案
解：（1）①AB=2
∴
②AD=10
∴V=
（2）选用f（x）：f′（x）=-
令f‘（x）=0，则x=10…（10分）
列表得：
…（13分）
∴f（x）max=f（10）=
选用g）θ）：令t=sinθ，0＜t＜1，h（t）=
∴h′（t）=-（t+）（t-），
令 h'（t）=0，则…（10分）
列表得：
…（13分）
∴h（t）max=h（）=，即…（15分）
（对g（θ）直接求导求解也得分，）
答：圆柱形罐子的最大体积为．
解析
解：（1）①AB=2
∴
②AD=10
∴V=
（2）选用f（x）：f′（x）=-
令f‘（x）=0，则x=10…（10分）
列表得：
…（13分）
∴f（x）max=f（10）=
选用g）θ）：令t=sinθ，0＜t＜1，h（t）=
∴h′（t）=-（t+）（t-），
令 h'（t）=0，则…（10分）
列表得：
…（13分）
∴h（t）max=h（）=，即…（15分）
（对g（θ）直接求导求解也得分，）
答：圆柱形罐子的最大体积为．
用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（ ）
正确答案
解析
解：由于棱柱的侧面与底面都是平行四边形，
所以用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是棱柱．
故选：D
正确答案
解：如图所示，
等边△ABC中，D是BC的中点，
∴球心O是△ABC的中心，
∴球O的半径为R=OD=
解析
解：如图所示，
等边△ABC中，D是BC的中点，
∴球心O是△ABC的中心，
∴球O的半径为R=OD=
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为底面ABCD上一动点，如果P到点A1的距离等于P到直线CC1的距离，那么点P的轨迹所在的曲线是（ ）
正确答案
解析
解：P到点A1的距离等于P到直线CC1的距离（可转化为P到点C的距离），即可转化为在空间到俩定点距离相等的点在中垂面上，所以两面的交线为直线，
故选A．
已知一个三棱锥与一个四棱锥，他们的所有长棱长都相等，现把这个三棱锥的一个面重合在四棱锥的一个侧面上，则这个组合体可能是（ ）
正确答案
解析
解：这个组合体为一斜三棱柱
如图三棱锥为S-AED，正四棱锥为S-ABCD，重合的面为△ASD，
设AD，BC中点分别为M、N，
由题意知AD⊥ME，AD⊥MS，AD⊥MN
又ME∩MS=M，MN∩MS=M
∴AD⊥面MNS，由AD⊥面MES，且面MNS∩面MES=MS
∴面MNS与面MES重合
又∵SE=AB=MN，EM=SN，
∴MNSE为平行四边行
又MN∥AB
∴AB∥SE
∴四边形ABSE为平行四边形，四边形CDES为平行四边形
∴SC∥DE，SB∥AE
又SC∩SB=S，AE∩DE=E
∴面SBC∥面EAD
又AB=SE=CD，AB不垂直于面SBC
∴组合体为斜三棱柱
故选B
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