- 空间几何体
- 共15406题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题：
①（
②
③
④正方体的体积为|
其中正确的命题的序号是______．
正确答案
①③
解析
解：如图所示：
以点D为坐标原点，以向量
设棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），
对于①：
∴
∴
∴|
∴①正确；
对于②：
∴
∴②错误；
对于③：
∴
∴③正确；
对于④：
∵
∴④错误，
综上，正确的命题为：①③，
故答案为：①③．
一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ ）
A2
B3
C1
D
正确答案
解析
解：设球的半径为：r，由正四面体的体积得：
4×
所以r=
设正方体的最大棱长为a，
∴3a2=（
∴a=
故选D．
下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；也可能是球，不正确；
对于B，如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；可能是放倒的圆柱，不正确；
对于C，如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；正确；
对于D，如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．可能是棱台；不正确
故选C．
四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AB=1，AD=2，AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=60°，则AC1的长为（ ）
A
B23
C
D32
正确答案
解析
∵∠A1AB=∠A1AD，
∴O在∠BAD的平分线上，
由O向AB，AD两边作垂线，垂足分别为E，F，连接A1E，A1F，A1E，A1F分别垂直AB，AD于E，F
∵AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=60°，
∴AE=AF=
又四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为矩形
∴∠OAF=∠OAE=45°，且OE=OF=
在直角三角形A1OA中，由勾股定理得A1O=
过C1作C1M垂直底面于M，则有△C1MC≌△A1OA，由此可得M到直线AD的距离是
所以AC1 =
故选C．
一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，求该三角形的斜边长．
正确答案
则EG=
即该三角形的斜边长为2
解析
则EG=
即该三角形的斜边长为2
①多面体O-ABC是正三棱锥；
②直线OB∥平面ACD；
③直线AD与OB所成的角为45°；
④二面角D-OB-A为45°．
其中真命题有______（写出所有真命题的序号）．
正确答案
①③④
解析
∴△ABC为等边三角形，
又∵OA、OB、OC两两垂直，
∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC，
过O作底面ABC的垂线，垂足为N，
连接AN交BC于M，
由三垂线定理可知BC⊥AM，
∴M为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，
∴N为底面△ABC中心，
∴O-ABC是正三棱锥，故A正确．
②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．
则②不正确，
③直线AD与OB所成的角为45°；
④二面角D-OB-A为45°．
命题③④显然成立．
故答案为：①③④．
设点P与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AD、BC、C1D1所在直线的距离相等，则点P的轨迹是（ ）
正确答案
解析
解：到直线AD和BC距离相等的点在过AB、CD、A1B1、C1D1中点的平面α上，
由于C1D1⊥平面α，∴P到直线C1D1的距离就等于P到其中点F的距离．
因此只要让点P满足到点F与到直线AD（或BC）的距离相等即可，
符合抛物线的定义，
故选C
①NE∥平面ABCD；
②FN∥DE；
③CN与AM是异面直线；
④FM与BD1垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是______．
正确答案
①④
解析
FN不平行于DE，②错；
CN与AM是相交直线，③错；
FM与BD1所在的平面FNM垂直，故FM与BD1垂直，故④正确．
故答案为：①④．
正确答案
60
解析
可知AB=AC=BC，所以角的大小为60°
故答案为：60．
正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2，若异面直线AB1与BC1所成的角为60°，则该三棱柱的侧棱长为（ ）
A2
B
C
D2
正确答案
解析
解：如图，
分别取AB，B1C1，A1B1，BB1的中点为E，F，G，H，
连接EF，EH，FH，EG，FG，
设正三棱柱的高为2h，又底面边长为2，
则
在三角形EHF中，由余弦定理可得：
EF2=EH2+FH2-2EH•FH•cos120°，
则
∴正三棱柱的高为
故选：D．
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，一直径为1的球O恰与底面ABCD及四个侧面都相切，直线AC1与球O交于MN两点，则MN的长为______．
正确答案
解析
解：如图，由题意可知球心O在上下底面的中心连线上，球的半径为：
所以OF=
所以MN=
故答案为：
下列几何体中是棱柱的有（ ）
正确答案
解析
解：观察图形得：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，”的几何体有：
①③⑤，只有它们是棱柱，
共三个．
故选C．
（B题）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=
正确答案
[
解析
解：
则B1（1，0，1），D（0，y，0），C1（0，1，1），E（x，0，0）．
则
∵C1E⊥B1D，
∴-x-y+1=0，
即x+y=1（x＞0，y＞0），
又∵DE=
则
故答案为：[
试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
（1）只有一个面是等边三角形的三棱锥；
（2）四个面都是等边三角形的三棱锥；
（3）三棱锥．
正确答案
解：（1）只有一个面是等边三角形的三棱锥；
三棱锥C1-ACD1，
（2）四个面都是等边三角形的三棱锥；
三棱锥B1-ACD1，
（3）三棱锥D1-ACD
解析
解：（1）只有一个面是等边三角形的三棱锥；
三棱锥C1-ACD1，
（2）四个面都是等边三角形的三棱锥；
三棱锥B1-ACD1，
（3）三棱锥D1-ACD
给出下列命题：
①底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
②若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；
④一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；
⑤所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．
其中正确的命题是（ ）
正确答案
解析
如图所示，
若AB=BC=AC=VA，且VA⊥平面ABC，但三棱锥V-ABC表示正三棱锥，∴①错误；
对于②，当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱，
如两个侧面不是相邻的时，侧棱与底面不一定垂直，∴②错误；
对于③，一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直，否则，这两条侧棱互相平行，∴③错误；
对于④，一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直，如①中图形，∴④正确；
对于⑤，所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，
∵各相邻侧面并不一定都互相垂直，∴⑤错误．
综上，正确的命题是④．
故选：D．
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