热门试卷

解：如图

水的形状依然是有两个面平行，其他侧面都是平行四边形的几何体，是棱柱；

故答案为：棱柱．

解：在①中，连接A1C1，由正方体的几何特征知，B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，

∴B1D1⊥平面ACC1A1，又MN⊂平面ACC1A1，∴B1D1⊥MN，

故①正确．

在②中，连接AC1，由正方体的几何特征知，AC1⊥A1B，AC1⊥A1D，

∴AC1⊥平面A1BD．

当N是棱CC1的中点时，MN∥AC1，则MN∥平面A1BD．

故②正确．

在③中，过N作CD的平行线NE，交DD1于E，连接ME，

过M作MF⊥EN交NE于F，则∠FNM即为异面直线MN与A1B1所成的角．如右图所示．

由知，Rt△EDM≌Rt△NCM，

∴ME=MN，∴EF=FN．

设正方体的棱长为2，CN=x，则cos∠FNM=，

由0≤x≤2知，≤cos∠FNM≤，

而，故③错误．

在④中，考虑△D1BM，以BM为底，DD1为高，可知是定值．

又CC1∥平面BB1D1D，∴N到平面BB1D1D的距离等于CC1到平面BB1D1D的距离，为定值，

∴三棱锥N-BMD1的体积为定值，

由知，三棱锥B-MND1的体积为定值，

故④正确．

综上，正确命题是①②④．

故答案为①②④．

解：∵在空间四边形ABCD中，O1、O2分别是面ABC、面ACD的重心，

∴==，EM∥BC，FM∥CD，

即=，EF∥BD

∵BD=a，

∴EF=，

故答案为：

解：（1）连接AB1，则∠B1C1A即为BC和AC1所成的角，在三角形AB1C1中，B1C1=2，AB1=2，

AC1=2，cos∠B1C1A==，

故（1）错；

（2）连接AF，C1F，则易得AF=FC1=，

又FD⊥AC1，则AD=DC1，故（2）正确；

（3）连接CD，则CD⊥AC1，且FD⊥AC1，

则∠CDF为二面角F-AC1-C的平面角，CD=，CF=，DF===，

即CD2+DF2=CF2，故二面角F-AC1-C的大小为90°，故（3）正确；

（4）由于CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则AD⊥平面CDF，

则VD-ACF=VA-DCF=•AD•S△DCF=×××=．故（4）正确．

故答案为：（2）（3）（4）

解：∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，

∴C1M⊥AA1，

∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，

∴C1M⊥A1B1，

∵AA1∩A1B1=A1，

∴C1M⊥平面ABB1A1，故①正确．

对于②：∵C1M⊥平面ABB1A1，AM⊂平面ABB1A1，

∴A1B⊥C1M，

∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=c1，

∴A1B⊥平面AC1M，

∵AM⊂平面AC1M，

∴A1B⊥AM，即②正确；

③：∵由题设得到AM∥B1N，C1M∥CN，

∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确．

故答案为：①②③．

解：如图中ABC都是正三角形；（1）中是正四面体；（2）中是五面体；（3）中是六面体；

新多面体的面数是4或5或6；

故答案为：4或5或6．

解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，

四棱锥的底面是一个长和宽分别是2和的矩形，

四棱锥的一条侧棱垂直于底面，且这条侧棱的长是，

∴四棱锥的体积是×2××=，

故答案为：；

解：延长MN与CC1的交点为P，CB的交点为Q，连结AP交A1C1于D，连结DN，

可得截面为DNMA，易得A1D=2DC1．不妨设三棱柱是直三棱柱，

底面AB⊥BC，且设AB=BC=AA1=2，下部分的体积为：VP-AQC-VP-DNC1-VM-AQB，QB=1，MB=1，NC=1，PC1=1．

棱柱的体积为V==4，

下部分的体积为：=．

上部分几何体的体积为4-=．

小部分的体积与大部分的体积之比为：=13：23．

故答案为：13：23．