- 空间几何体
- 共15406题
正确答案
解析
解：由题意，设正方体的棱长为1，建立坐标系，M（x，y，0），（0≤x≤1，0≤y≤1），则
∵直线C1D与直线C1M所成的角等于30°，
∴cos30°=
化简可得
∴点M的轨迹是椭圆的一部分，
故选：B．
已知圆C和y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为
（1）求圆C的方程．
（2）若圆心在第一象限，求过点（6，5）且与该圆相切的直线方程．
正确答案
解：（1）设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，
则圆心到直线y=x的距离 
而 
∴（x-3）2+（y-1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．
（2）圆心在第一象限的圆是（x-3）2+（y-1）2=9，
设过点（6，5）且与该圆相切的直线方程为y-5=k（x-6），即kx-y+5-6k=0，
∵圆心O（3，1），半径r=3，
∴
解得k=
∴当切线的斜率k存在时，其方程为y-5=
即7x-24y+78=0．
当切线的斜率k不存在时，其方程为x=6．
故切线方程为7x-24y+78=0，或x=6．
解析
解：（1）设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，
则圆心到直线y=x的距离
而
∴（x-3）2+（y-1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．
（2）圆心在第一象限的圆是（x-3）2+（y-1）2=9，
设过点（6，5）且与该圆相切的直线方程为y-5=k（x-6），即kx-y+5-6k=0，
∵圆心O（3，1），半径r=3，
∴
解得k=
∴当切线的斜率k存在时，其方程为y-5=
即7x-24y+78=0．
当切线的斜率k不存在时，其方程为x=6．
故切线方程为7x-24y+78=0，或x=6．
将正方形折成正四棱柱的侧面，正方形的对角线AC被折成折线AEFGC，则∠EFG为定值，试求这个定值．
正确答案
空间图形中，过E在对角面上作EH⊥HD，垂足为H，EF、FG和HG和原来图形中的线段相等，
故GH=2，EF=FG=
在对角面上，由Rt△HEG中勾股定理得EG=
在等腰三角形FEG中，由余弦定理得：
cos∠GFE=
故∠GFE为定值且为
解析
空间图形中，过E在对角面上作EH⊥HD，垂足为H，EF、FG和HG和原来图形中的线段相等，
故GH=2，EF=FG=
在对角面上，由Rt△HEG中勾股定理得EG=
在等腰三角形FEG中，由余弦定理得：
cos∠GFE=
故∠GFE为定值且为
P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α交线段PA．PB．PC于A′．B′．C′，若PA′：AA′=2：3，则△A′B′C′与△ABC的面积比等于______．
正确答案
4：25或4：1
解析
因为平面α∥平面ABC，α交线段PA．PB．PC于A′．B′．C′，若PA′：AA′=2：3，
所以A′B′∥AB，
∴△PA′B′∽△PAB
PA′：PA=2：5，A′B′：AB=2：5，
同理A′C′∥AC，A′C′：AC=2：5，
∠B′A′C′=∠BAC．
故答案为：4：25．或4：1
如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为（ ）
正确答案
解析
解：设几何体的高为h，两次放置没有水的部分体积相等，
得：（h-20）•π•12=（h-28）•π•32，解得h=29
几何体的高是29．
故选A．
正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的侧面都是正方形，若底面边长为a，则截面A1DD1的面积为（ ）
A
B2a2
C
D
正确答案
解析
解：如图所示，
正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的侧面都是正方形，
且底面边长为a，则截面A1DD1是矩形A1ADD1，
它的面积为AD•A1A=2a•a=2a2．
故选：B．
如果一个立方体的体积在数值上等于V，表面积在数值上等于S，且V=S+1，那么这个立方体的棱长最接近（ ）
正确答案
解析
解：设正方体棱长为a，则体积=a3，表面积=6a2，
所以方程V=S+1表述为：
a3=6a2+1，即a3-6a2+1=0，设f（a）=a3-6a2+1，
利用计算器计算f（6）＜0，f（6.05）＞0，故a∈（6，6.05）
解上述方程得到，a约等于6.03．
故选：C．
将一个边长为10的大正方体的表面涂成红色后，再切成边长为1的小正方形，这些小正方形中至少有一面涂成红色的个数是______．
正确答案
488
解析
解：对照正方体，这些小正方体中至少有一面涂成红色，可分为：
①只有一面涂色，有6×（10-2）2=384个，
②有两面涂色，有8×12=96个，
③有三面涂色的，有8个．
则共有384+96+8=488个．
故答案为：488．
一个长方体的长、宽、高分别为3，8，9，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为（ ）
正确答案
解析
解：圆柱两底面积=圆柱侧面积
孔的打法有三种，所以有三种情况，
①孔高为3，则2πr2=2πr3
解得r=3
②孔高为8，则r=8
③孔高为9，则r=9
而实际的情况是，当r=8、r=9时，因为长方体有个高为3，所以受限制不能打，
所以三种情况其实只能打一种，即圆柱体高为3时，打个半径为3的孔．
故选A
正确答案
1
解析
解：由题意知四面体A1-ABC有4个面，其中直角三角形有4个，则四面体A1-ABC的直度为
故答案为：1
正方体A1C中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，则正方体被截面BEFD分成大小两部分的体积之比V1：V2=______．
正确答案
17：7
解析
解：如图所示，设正方体的棱长AB=2，则
∴
故答案为
一个凸多面体的各个面都是四边形，它的顶点数是16，则它的面数为（ ）
正确答案
解析
解：我们知道欧拉公式：V+F-E=2（V为简单多面体的顶点数，F为面数，E为棱数），
因为凸多面体的各个面都是四边形，所以E=2F，
这样：V=16，E=2F，代入 V+F-E=2，得：F=14．
故选：A．
A10
B
C
D
正确答案
解析
∴（
=（ 
=42+32+32+2×4×3cos120°+2×4×3cos120°+2×3×3cos90°
=10．
∴AC1=
故选C．
正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线AC1长为
正确答案
1
解析
解：设正方体的棱长为a，
则其对角线长b=
解得a=1
故答案为1
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为（ ）
A4+
B4+
C4+
D4+3π
正确答案
解析
解：根据该几何体的三视图，得：
该几何体是底面半径为1，高为3的圆柱与底面边长为2，高为1的正四棱柱，
再去掉一个底面为半圆、高为1的圆柱；
∴V=π×12×3+2×2×1-
故选：A．
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