热门试卷

解：由三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=

VABC-A1B1C1=S△ABC•AA1=•AC•BC•4=24（4分）

VB-ADEC=S四边形ADEC•BC=•（AD+CE）•AC•BC

=••（1+2）•3•4=6（4分）

此容器最多能盛水VABC-A1B1C1-VB-ADEC=18L．（4分）

解：对于①，设四面体为D-ABC，过棱锥顶点D作底面的垂线DE，过E分别作AB，BC，CA边的垂线，

其垂足依次为F，G，H，连接DF，DG，DH，则∠DFE，∠DGE，∠DHE分别为各侧面与底面所成的角，

所以∠DFE=∠DGE=∠DHE，于是有FE=EG=EH，DF=DG=DH，故E为△ABC的内心，

又因△ABC为等边三角形，所以F，G，H为各边的中点，

所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD，故DA=DB=DC，

故棱锥为正三棱锥．所以为真命题．

对于②，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，所以为假命题．

对于③，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可，所以为假命题．

对于④，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结合①知底面应为正三角形，所以为真命题．

综上，①④为真命题．

故答案为：①④

证明：如图，连结BD，取AD的中点E，连结PE，BE；

从而易知△ABD也是等边三角形，

又∵△PAD为等边三角形，

∴AD⊥PE，AD⊥BE，

又∵PE∩BE=E；

故AD⊥平面PBE；

故AD⊥PB．

证明：由于点P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得：PQ∥RS∥AC，RQ∥SP∥BD，

而由题设，AC=BD，

∴PQ=QR=RS=SP，

故PQRS为一个菱形．

解：（1）设长方体的高AA1=h，则该几何体体积为

--------------------2‘

即，解得：h=3，即AA1=3-----------------------6’

（2）根据题意，可得该几何体的表面由三个长方形和四个三角形组成，

SAA1D1D=SC1D1DC=2×3=6，SABCD=2×2=4，

S△A1AB=S△BC1C=×2×3=3，S△A1D1C1=×2×2=2，

在△A1BC1中，A1B===BC1，A1C1==2

∴cos∠A1BC1==，

可得sin∠A1BC1==

所以S△A1BC1=×××=

由此可得该几何体的表面积为：

S表=SAA1D1D+SC1D1DC+SABCD+S△A1AB+S△BC1C+S△A1D1C1+S△A1BC1=24+---------------------------10'

几何体的主视图和俯视图如右图所示（主视图和俯视图分别为2分）．---------------------------14'