- 空间几何体
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正确答案
1：6
解析
解：设正方体的棱长是1，
构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，
以上面一个正四棱锥为例，
它的高等于正方体棱长的一半
正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是
∴这个正四棱锥的体积是
∴构成的八面体的体积是2×
∴八面体的体积是V1，正方体体积是V2，V1：V2=1：6
故答案为：1：6
已知在三棱锥T-ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在地面ABC上的投影为D，给出下列命题：
①TA⊥BC，TB⊥AC，TC⊥AB；
②△ABC是锐角三角形；
③
④
其中正确的是______（写出所有正确命题的编号）．
正确答案
①②③
解析
②设TA=a；TB=b；TC=c，则AB2=a2+b2，同理BC2=c2+b2，Ac2=a2+c2，在三角形ABC中，由余弦定理得：
③设TA=a；TB=b；TC=c，在直角三角形TBC中，得：TE=
在三角形ABC中，有：AE=
由于AE×TD=TA×TE
∴
∴a2b2c2=（a2b2+b2c2+c2a2）TD 2
∴
故③对
④：S△BCA2=S△TBC2+S△ACT2+S△TAB2．证明如下：
如图作TE⊥CB于E，连AE，则AE⊥CB．
S△BCA2 =
=
故不对；
故答案为：①②③．
正确答案
解析
解：∵在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，
∴AB⊥AC
又∵BC1⊥AC，BC1∩AB=B
∴AC⊥平面ABC1，
则C1作C1H⊥底面ABC，
故C1H⊂平面ABC1，
故点H一定在直线AB上
故选B
在三棱锥P-ABC中，△PAB、△PBC、△PAC、△ABC中是直角三角形的最多有（ ）
正确答案
解析
底面ABC是直角三角形，
且∠C=90°，
PA⊥平面ABC，
由三垂线定理，
很容易知道，△PAB、△PBC、△PAC、△ABC都是直角三角形．
故选D．
长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）
A
B
C5
D6
正确答案
解析
解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，
4（a+b+c）=24…①，
2ab+2bc+2ac=11…②，
由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25，
这个长方体的一条对角线长为：5，
故选C．
（1）若钉身长度是顶帽长度的2倍，求铆钉的表面积；
（2）若每块钢板的厚底为12mm，求钉身的长度（结果精确到1mm）．
正确答案
解：（1）设钉身的高为h，钉身的底面半径为r，钉帽的底面半径为R，
由题意可知圆柱的高h=2R=38，圆柱的侧面积S1=2πrh=760π，
半球的表面积S2=
故铆钉的表面积S=S1+S2=760π+1083π=1843π．
（2）V1=πr2h1=100×24π=2400π，V2=
设钉身的长度为l，则V3=πr2•l=100πl，
由于V3=V1+V2，
∴2400π
解得l≈70mm．
解析
解：（1）设钉身的高为h，钉身的底面半径为r，钉帽的底面半径为R，
由题意可知圆柱的高h=2R=38，圆柱的侧面积S1=2πrh=760π，
半球的表面积S2=
故铆钉的表面积S=S1+S2=760π+1083π=1843π．
（2）V1=πr2h1=100×24π=2400π，V2=
设钉身的长度为l，则V3=πr2•l=100πl，
由于V3=V1+V2，
∴2400π
解得l≈70mm．
正确答案
解析
当a＞b时，过C1点垂直B1C的直线交于BC上，
所以当且仅当a≤b时，存在点E，使得B1D⊥EC1，
故选：D．
对于四面体ABCD，给出下列命题：
①相对棱AB与CD所在的直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作出三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
其中正确命题的个数为（ ）
正确答案
解析
解：①根据三棱锥的结构特征知正确．
②因为只有对棱相互垂直才行，所以不一定，不正确．
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，若是正四面体时，则两直线相交，不正确．
④因为相对棱中点两两连接构成平行四边形，而对棱的中点的连接正是平行四边形的对角线，所以三条线段相交于一点，故正确．
⑤根据两边之和大于第三边，可知正确．
故答案为：①④⑤
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（ ）
正确答案
解析
∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确；
∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，B正确；
∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，D错误
故选D
正确答案
解：如图所示，
连接BE，CE，则多面体ABCDEF的体积为：
V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥E-BCF
=
=20．
解析
解：如图所示，
连接BE，CE，则多面体ABCDEF的体积为：
V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥E-BCF
=
=20．
正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比为2：3，则此三棱锥的高与斜高之比为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：如图：
∵△ABC为正三角形，
∴CE=3OE
侧面面积S△SAB=
∵一个侧面面积与底面面积之比为2：3
∴S△SAB：S△ABC=
∴在直角三角形SOE中，∠ESO=30°
∴
故选 A
正三棱锥的底面积为4
正确答案
解：设正三棱锥的底面边长为a，
∴S=
设正三棱锥的斜高为h，则
解得h=3，
由勾股定理可得侧棱l=
解析
解：设正三棱锥的底面边长为a，
∴S=
设正三棱锥的斜高为h，则
解得h=3，
由勾股定理可得侧棱l=
过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为______．
正确答案
1：3：5
解析
解：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S侧1：S侧2：S侧3=1：4：9，
所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1：3：5．
故答案为：1：3：5．
若一个平行六面体的四个侧面都是正方形，则这个平行六面体是（ ）
正确答案
解析
解：∵四个侧面都是正方形，
∴相邻两个侧面的公共边垂直于底面，即侧棱垂直于底面．
∴平行六面体为直平行六面体．
故选D
下列各组几何体中是多面体的一组是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，由于球、圆锥是旋转体，不是多面体，故A不正确；
对于B，由于圆台是旋转体，不是多面体，故B不正确；
对于C，三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥，它们的各个面都是平面多边形，
所以C的各个几何体都是多面体，C项正确；
对于D，圆锥、圆台、球、半球都是旋转体，D项中没有多面体，故D不正确
故选：C
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