- 空间几何体
- 共15406题
如图,在正方体中ABCD-A1B1C1D1,M为BC的中点,点N在四边形CDD1C1及其内部运动.若MN⊥A1C1,则N点的轨迹为( )
正确答案
解析
解:正方体中ABCD-A1B1C1D1中,M为BC的中点,点N在四边形CDD1C1及其内部运动;
如图所示,
取CD、C1D1的中点Q、P,连接PQ,
当点N在线段PQ上时,MN⊥A1C1;
因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,
连接B1D1,交A1C1于点O,∴B1D1⊥A1D1,
取B1C1的中点E,连接PE,则PE∥B1D1,
∴PE⊥A1C1;
又CC1⊥平面A1B1C1D1,PQ∥CC1,
∴PQ⊥平面A1B1C1D1,
∵A1C1⊂平面A1B1C1D1,
∴PQ⊥A1C1;
且PQ∩PE=P,
∴A1C1⊥平面PQME,
PQ⊂平面PQME,
∴A1C1⊥PQ;
∴N点的轨迹为线段PQ.
故选:A.
如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD上菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD,
(1)证明:C1C⊥BD;
(2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.
正确答案
(1)证明:如图,连接A1C1、AC和BD交于O,连接C1O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BC=CD.
又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C=C1C,
∴△C1BC≌△C1DC,
∴C1B=C1D,
∵DO=OB
∴C1O⊥BD,(3分)
又AC⊥BD,AC∩C1O=O,
∴BD⊥平面AC1,
又C1C⊂平面AC1,
∴C1C⊥BD.(6分)
(2)当时,能使A1C⊥平面C1BD.
∵,
∴BC=CD=C1C,
又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD,
由此可推得BD=C1B=C1D.
∴三棱锥C-C1BD是正三棱锥.(9分)
设A1C与C1O相交于G.
∵A1C1∥AC,且A1C1:OC=2:1,
∴C1G:GO=2:1.
又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线,
∴点G是正三角形C1BD的中心,
∴CG⊥平面C1BD,
即A1C⊥平面C1BD.(12分)
解析
(1)证明:如图,连接A1C1、AC和BD交于O,连接C1O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BC=CD.
又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C=C1C,
∴△C1BC≌△C1DC,
∴C1B=C1D,
∵DO=OB
∴C1O⊥BD,(3分)
又AC⊥BD,AC∩C1O=O,
∴BD⊥平面AC1,
又C1C⊂平面AC1,
∴C1C⊥BD.(6分)
(2)当时,能使A1C⊥平面C1BD.
∵,
∴BC=CD=C1C,
又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD,
由此可推得BD=C1B=C1D.
∴三棱锥C-C1BD是正三棱锥.(9分)
设A1C与C1O相交于G.
∵A1C1∥AC,且A1C1:OC=2:1,
∴C1G:GO=2:1.
又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线,
∴点G是正三角形C1BD的中心,
∴CG⊥平面C1BD,
即A1C⊥平面C1BD.(12分)
已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、
、
,这个长方体的对角线长为______;它的外接圆的体积为______.
正确答案
解析
解:可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a,b,c,
列出方程组,
解得
故长方体的对角线长是=
∵对角线长即为它的外接球的直径求出半径,
∴它的外接球的半径为,
它的外接球的体积为V=π×R3=
×π×
=
.
故答案为;
.
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为C1D1,AA1,BB1的中点,则空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影面积为( )
正确答案
解析
解:过E点做EH垂直CD于H,连接EH,易得H即为E在平面ABCD上的射影,
连接AH,BH,如下图所示
则AH,BH,AB分别为FE,EG,FB在平面ABCD上的射影,
又由G在平面ABCD上的射影为B,
故△ABH即为空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影
∵S△ABH=SABCD=
故选B
如图,E为正方体的棱AA1中点,F为棱AB上一点,且∠C1EF=90°,则|AF|:|FB|=______.
正确答案
1:3
解析
解:设正方体的棱长为2,由题意可知C1E==3,
∠C1EF=90°,所以设AF=x,12+x2+C1E2=22+22+(2-x)2,
解得:x=,所以AF:FB=
:(2-
)=1:3;
故答案为:1:3.
图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是
,则此长方体的体积是______.
正确答案
3
解析
解:设长方体的高为x,则由题意可知:
所以长方体的体积:3
故答案为:3
如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:
①BM与ED平行;
②CN与BE是异面直线;
③CN与BM成60°角;
④DM与BN是异面直线.
以上四个命题中,正确命题的序号是______.
正确答案
③④
解析
解:展开图复原的正方体如图,不难看出:
①BM与ED平行;错误的,是异面直线;
②CN与BE是异面直线,错误;是平行线;
③CN与BM成60°;正确;
④DM与BN是异面直线.正确
判断正确的答案为③④
故答案为:③④
已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于( )
正确答案
解析
解:已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,设底面边长为1,侧棱长为2,
连接顶点与底面中心,则侧棱在底面上的射影长为,
所以侧棱与底面所成角∠PAO的余弦值等于,
故选A.
正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1和BB1的中点,G是BC上一点,使C1N⊥MG,则∠D1NG=______.
正确答案
90°
解析
解:连接MN,
∵M,N分别是AA1和BB1的中点,
由正方体的几何特征可得MN∥C1D1,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,D1C1⊥平面B1C1CB
∵C1N⊂平面B1C1CB
∴D1C1⊥C1N
∴MN⊥C1N
又∵C1N⊥MG,MN∩MG=M,MD1,MG⊂平面MNG
∴C1N⊥平面MNG
又∵NG⊂平面MNG
∴C1N⊥NG
故∠D1NG=90°
故答案为:90°
已知一个正六棱柱的底面边长是,最长的对角线长为8,那么这个正六棱柱的高是( )
正确答案
解析
解:∵正六棱柱的底面边长是cm,最长的对角线长是8cm,
则正六棱柱底面的最长的对角长是
∴该正棱柱的高为cm
故答案为:D.
在侧棱长为1的正三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠CPA=40°过点A作截面AEF与PB、PC侧棱分别交于E、F两点,则截面的周长最小值为______.
正确答案
解析
解:将三棱锥由PA展开,如图,
则图中∠APA1=120°,
AA1为所求,
由余弦定理可得AA1=,
故答案为:.
给出下列四个命题:
(1)各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.
(2)若一个简单多面体的各顶点都有3条棱,则其顶点数V、面数F满足的关系式为2F-V=4.
(3)若直线l⊥平面α,l∥平面β,则α⊥β.
(4)命题“异面直线a、b不垂直,则过a的任一平面与b都不垂直”的否定.
其中,正确的命题是( )
正确答案
解析
解:各侧面在都是正方形的棱柱的底面各边长相等,但不一定是正多边形,故(1)错误;
若一个简单多面体的各顶点都有3条棱,则其顶点数V、面数F满足的关系式为2F-V=4,故(2)正确;
若直线l⊥平面α,l∥平面β,则存在直线m∥l,m⊂β,则m⊥α,则α⊥β.故(3)正确;
命题“异面直线a、b不垂直,则过a的任一平面与b都不垂直”为真命题,故其否定(4)错误;
故选A.
如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=
,AD1=
,AB1=
,则长方体的对角线AC1长等于______.
正确答案
3
解析
解:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,由AA1=,AD1=
,
得:,
由AA1=,AB1=
,
得:.
∴.
则AC1=3.
故答案为:3.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图所示.
(1)点D,B,F,E共面吗?
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置;
(3)点P,Q,R共线吗?
正确答案
解:(1)共面,证明:由于CC1和BF在同一平面内,且不平行,故必相交,设交点为O,则OC1=C1C,同理,直线DE与CC1也相交,设交点为O1,则O1C1=C1C,故O1与O重合,得DE与BF交于O,故D,B,F,E共面.
(2)在正方体AC1中,连接PQ,
∵Q∈A1C1,∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF,
∴Q∈平面BDEF,即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点,
同理,P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点.
∴平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ.
又A1C∩平面BDEF=R,
∴R∈A1C,
∴R∈平面A1C1CA,
R∈平面BDEF.
∴R是A1C与PQ的交点.如图.
(3)共线,证明:由(2)知,PQ=平面BDEG∩平面A1ACC1,R∈A1C,
而A1C⊂平面A1ACC1,故R∈平面A1ACC1,
同理,R∈平面BDEF,
故R∈PQ,即P,Q,R三点共线.
解析
解:(1)共面,证明:由于CC1和BF在同一平面内,且不平行,故必相交,设交点为O,则OC1=C1C,同理,直线DE与CC1也相交,设交点为O1,则O1C1=C1C,故O1与O重合,得DE与BF交于O,故D,B,F,E共面.
(2)在正方体AC1中,连接PQ,
∵Q∈A1C1,∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF,
∴Q∈平面BDEF,即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点,
同理,P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点.
∴平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ.
又A1C∩平面BDEF=R,
∴R∈A1C,
∴R∈平面A1C1CA,
R∈平面BDEF.
∴R是A1C与PQ的交点.如图.
(3)共线,证明:由(2)知,PQ=平面BDEG∩平面A1ACC1,R∈A1C,
而A1C⊂平面A1ACC1,故R∈平面A1ACC1,
同理,R∈平面BDEF,
故R∈PQ,即P,Q,R三点共线.
如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,D、E分别为CC1、A1B1的中点.
(1)求证C1E∥平面A1BD;
(2)求证AB1⊥平面A1BD;
(3)求三棱锥A1-C1DE的体积.
正确答案
解:(1)设AB1与A1B相交于F,连EF,DF.则EF为△AA1B1的中位线,∴EF∥=
A1A.
∵C1D∥=A1A,∴EF∥=C1D,则四边形EFDC1为平行四边形,∴DF∥C1E.
∵C1E⊄平面A1BD,DF⊂平面A1BD,∴C1E∥平面A1BD.
(2)取BC的中点H,连接AH,B1H,
由正三棱柱ABC-A1B1C1,知AH⊥BC,
∵B1B⊥平面ABC,∴B1B⊥AH.∵B1B∩BC=B,∴AH⊥平面B1BCC1.∴AH⊥BD.
在正方形B1BCC1中,∵tan∠BB1H=tan∠CBD=,∴∠BB1H=∠CBD.则B1H⊥BD.
∵AH⊥∩B1H=H,∴BD⊥平面AHB1.∴BD⊥AB1.
在正方形A1ABB1中,∵A1B⊥AB1.而A1B∩BD=B,∴AB1⊥平面A1BD.
(3)∵E为AB的中点,∴.
解析
解:(1)设AB1与A1B相交于F,连EF,DF.则EF为△AA1B1的中位线,∴EF∥=
A1A.
∵C1D∥=A1A,∴EF∥=C1D,则四边形EFDC1为平行四边形,∴DF∥C1E.
∵C1E⊄平面A1BD,DF⊂平面A1BD,∴C1E∥平面A1BD.
(2)取BC的中点H,连接AH,B1H,
由正三棱柱ABC-A1B1C1,知AH⊥BC,
∵B1B⊥平面ABC,∴B1B⊥AH.∵B1B∩BC=B,∴AH⊥平面B1BCC1.∴AH⊥BD.
在正方形B1BCC1中,∵tan∠BB1H=tan∠CBD=,∴∠BB1H=∠CBD.则B1H⊥BD.
∵AH⊥∩B1H=H,∴BD⊥平面AHB1.∴BD⊥AB1.
在正方形A1ABB1中,∵A1B⊥AB1.而A1B∩BD=B,∴AB1⊥平面A1BD.
(3)∵E为AB的中点,∴.
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