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题型: 单选题
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单选题

如图,在正方体中ABCD-A1B1C1D1,M为BC的中点,点N在四边形CDD1C1及其内部运动.若MN⊥A1C1,则N点的轨迹为(  )

A线段

B圆的一部分

C椭圆的一部分

D双曲线的一部分

正确答案

A

解析

解:正方体中ABCD-A1B1C1D1中,M为BC的中点,点N在四边形CDD1C1及其内部运动;

如图所示,

取CD、C1D1的中点Q、P,连接PQ,

当点N在线段PQ上时,MN⊥A1C1

因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,

连接B1D1,交A1C1于点O,∴B1D1⊥A1D1

取B1C1的中点E,连接PE,则PE∥B1D1

∴PE⊥A1C1

又CC1⊥平面A1B1C1D1,PQ∥CC1

∴PQ⊥平面A1B1C1D1

∵A1C1⊂平面A1B1C1D1

∴PQ⊥A1C1

且PQ∩PE=P,

∴A1C1⊥平面PQME,

PQ⊂平面PQME,

∴A1C1⊥PQ;

∴N点的轨迹为线段PQ.

故选:A.

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题型:简答题
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简答题

如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD上菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD,

(1)证明:C1C⊥BD;

(2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.

正确答案

(1)证明:如图,连接A1C1、AC和BD交于O,连接C1O.

∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,BC=CD.

又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C=C1C,

∴△C1BC≌△C1DC,

∴C1B=C1D,

∵DO=OB

∴C1O⊥BD,(3分)

又AC⊥BD,AC∩C1O=O,

∴BD⊥平面AC1

又C1C⊂平面AC1

∴C1C⊥BD.(6分)

(2)当时,能使A1C⊥平面C1BD.

∴BC=CD=C1C,

又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD,

由此可推得BD=C1B=C1D.

∴三棱锥C-C1BD是正三棱锥.(9分)

设A1C与C1O相交于G.

∵A1C1∥AC,且A1C1:OC=2:1,

∴C1G:GO=2:1.

又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线,

∴点G是正三角形C1BD的中心,

∴CG⊥平面C1BD,

即A1C⊥平面C1BD.(12分)

解析

(1)证明:如图,连接A1C1、AC和BD交于O,连接C1O.

∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,BC=CD.

又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C=C1C,

∴△C1BC≌△C1DC,

∴C1B=C1D,

∵DO=OB

∴C1O⊥BD,(3分)

又AC⊥BD,AC∩C1O=O,

∴BD⊥平面AC1

又C1C⊂平面AC1

∴C1C⊥BD.(6分)

(2)当时,能使A1C⊥平面C1BD.

∴BC=CD=C1C,

又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD,

由此可推得BD=C1B=C1D.

∴三棱锥C-C1BD是正三棱锥.(9分)

设A1C与C1O相交于G.

∵A1C1∥AC,且A1C1:OC=2:1,

∴C1G:GO=2:1.

又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线,

∴点G是正三角形C1BD的中心,

∴CG⊥平面C1BD,

即A1C⊥平面C1BD.(12分)

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题型:填空题
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填空题

已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,这个长方体的对角线长为______;它的外接圆的体积为______

正确答案

解析

解:可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a,b,c,

列出方程组

解得

故长方体的对角线长是=

∵对角线长即为它的外接球的直径求出半径,

∴它的外接球的半径为

它的外接球的体积为V=π×R3=×π×=

故答案为

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题型: 单选题
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单选题

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为C1D1,AA1,BB1的中点,则空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影面积为(  )

A1

B

C

D

正确答案

B

解析

解:过E点做EH垂直CD于H,连接EH,易得H即为E在平面ABCD上的射影,

连接AH,BH,如下图所示

则AH,BH,AB分别为FE,EG,FB在平面ABCD上的射影,

又由G在平面ABCD上的射影为B,

故△ABH即为空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影

∵S△ABH=SABCD=

故选B

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题型:填空题
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填空题

如图,E为正方体的棱AA1中点,F为棱AB上一点,且∠C1EF=90°,则|AF|:|FB|=______

正确答案

1:3

解析

解:设正方体的棱长为2,由题意可知C1E==3,

∠C1EF=90°,所以设AF=x,12+x2+C1E2=22+22+(2-x)2

解得:x=,所以AF:FB=:(2-)=1:3;

故答案为:1:3.

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题型:填空题
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填空题

图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是,则此长方体的体积是______

正确答案

3

解析

解:设长方体的高为x,则由题意可知:

所以长方体的体积:3

故答案为:3

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题型:填空题
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填空题

如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:

①BM与ED平行;

②CN与BE是异面直线;

③CN与BM成60°角;

④DM与BN是异面直线.

以上四个命题中,正确命题的序号是______

正确答案

③④

解析

解:展开图复原的正方体如图,不难看出:

①BM与ED平行;错误的,是异面直线;

②CN与BE是异面直线,错误;是平行线;

③CN与BM成60°;正确;

④DM与BN是异面直线.正确

判断正确的答案为③④

故答案为:③④

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题型: 单选题
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单选题

已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解:已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,设底面边长为1,侧棱长为2,

连接顶点与底面中心,则侧棱在底面上的射影长为

所以侧棱与底面所成角∠PAO的余弦值等于

故选A.

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题型:填空题
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填空题

正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1和BB1的中点,G是BC上一点,使C1N⊥MG,则∠D1NG=______

正确答案

90°

解析

解:连接MN,

∵M,N分别是AA1和BB1的中点,

由正方体的几何特征可得MN∥C1D1

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,D1C1⊥平面B1C1CB

∵C1N⊂平面B1C1CB

∴D1C1⊥C1N

∴MN⊥C1N

又∵C1N⊥MG,MN∩MG=M,MD1,MG⊂平面MNG

∴C1N⊥平面MNG

又∵NG⊂平面MNG

∴C1N⊥NG

故∠D1NG=90°

故答案为:90°

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题型: 单选题
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单选题

已知一个正六棱柱的底面边长是,最长的对角线长为8,那么这个正六棱柱的高是(  )

A

B3

C

D4

正确答案

D

解析

解:∵正六棱柱的底面边长是cm,最长的对角线长是8cm,

则正六棱柱底面的最长的对角长是

∴该正棱柱的高为cm

故答案为:D.

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题型:填空题
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填空题

在侧棱长为1的正三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠CPA=40°过点A作截面AEF与PB、PC侧棱分别交于E、F两点,则截面的周长最小值为______

正确答案

解析

解:将三棱锥由PA展开,如图,

则图中∠APA1=120°,

AA1为所求,

由余弦定理可得AA1=

故答案为:

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题型: 单选题
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单选题

给出下列四个命题:

(1)各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.

(2)若一个简单多面体的各顶点都有3条棱,则其顶点数V、面数F满足的关系式为2F-V=4.

(3)若直线l⊥平面α,l∥平面β,则α⊥β.

(4)命题“异面直线a、b不垂直,则过a的任一平面与b都不垂直”的否定.

其中,正确的命题是(  )

A(2)(3)

B(1)(4)

C(1)(2)(3)

D(2)(3)(4)

正确答案

A

解析

解:各侧面在都是正方形的棱柱的底面各边长相等,但不一定是正多边形,故(1)错误;

若一个简单多面体的各顶点都有3条棱,则其顶点数V、面数F满足的关系式为2F-V=4,故(2)正确;

若直线l⊥平面α,l∥平面β,则存在直线m∥l,m⊂β,则m⊥α,则α⊥β.故(3)正确;

命题“异面直线a、b不垂直,则过a的任一平面与b都不垂直”为真命题,故其否定(4)错误;

故选A.

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题型:填空题
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填空题

如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=,AD1=,AB1=,则长方体的对角线AC1长等于______

正确答案

3

解析

解:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,由AA1=,AD1=

得:

由AA1=,AB1=

得:

则AC1=3.

故答案为:3.

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题型:简答题
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简答题

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图所示.

(1)点D,B,F,E共面吗?

(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置;

(3)点P,Q,R共线吗?

正确答案

解:(1)共面,证明:由于CC1和BF在同一平面内,且不平行,故必相交,设交点为O,则OC1=C1C,同理,直线DE与CC1也相交,设交点为O1,则O1C1=C1C,故O1与O重合,得DE与BF交于O,故D,B,F,E共面.

(2)在正方体AC1中,连接PQ,

∵Q∈A1C1,∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF,

∴Q∈平面BDEF,即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点,

同理,P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点.

∴平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ.

又A1C∩平面BDEF=R,

∴R∈A1C,

∴R∈平面A1C1CA,

R∈平面BDEF.

∴R是A1C与PQ的交点.如图.

(3)共线,证明:由(2)知,PQ=平面BDEG∩平面A1ACC1,R∈A1C,

而A1C⊂平面A1ACC1,故R∈平面A1ACC1

同理,R∈平面BDEF,

故R∈PQ,即P,Q,R三点共线.

解析

解:(1)共面,证明:由于CC1和BF在同一平面内,且不平行,故必相交,设交点为O,则OC1=C1C,同理,直线DE与CC1也相交,设交点为O1,则O1C1=C1C,故O1与O重合,得DE与BF交于O,故D,B,F,E共面.

(2)在正方体AC1中,连接PQ,

∵Q∈A1C1,∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF,

∴Q∈平面BDEF,即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点,

同理,P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点.

∴平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ.

又A1C∩平面BDEF=R,

∴R∈A1C,

∴R∈平面A1C1CA,

R∈平面BDEF.

∴R是A1C与PQ的交点.如图.

(3)共线,证明:由(2)知,PQ=平面BDEG∩平面A1ACC1,R∈A1C,

而A1C⊂平面A1ACC1,故R∈平面A1ACC1

同理,R∈平面BDEF,

故R∈PQ,即P,Q,R三点共线.

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题型:简答题
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简答题

如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,D、E分别为CC1、A1B1的中点.

(1)求证C1E∥平面A1BD;

(2)求证AB1⊥平面A1BD;

(3)求三棱锥A1-C1DE的体积.

正确答案

解:(1)设AB1与A1B相交于F,连EF,DF.则EF为△AA1B1的中位线,∴EF∥=A1A.

∵C1D∥=A1A,∴EF∥=C1D,则四边形EFDC1为平行四边形,∴DF∥C1E.

∵C1E⊄平面A1BD,DF⊂平面A1BD,∴C1E∥平面A1BD.

(2)取BC的中点H,连接AH,B1H,

由正三棱柱ABC-A1B1C1,知AH⊥BC,

∵B1B⊥平面ABC,∴B1B⊥AH.∵B1B∩BC=B,∴AH⊥平面B1BCC1.∴AH⊥BD.

在正方形B1BCC1中,∵tan∠BB1H=tan∠CBD=,∴∠BB1H=∠CBD.则B1H⊥BD.

∵AH⊥∩B1H=H,∴BD⊥平面AHB1.∴BD⊥AB1

在正方形A1ABB1中,∵A1B⊥AB1.而A1B∩BD=B,∴AB1⊥平面A1BD.

(3)∵E为AB的中点,∴

解析

解:(1)设AB1与A1B相交于F,连EF,DF.则EF为△AA1B1的中位线,∴EF∥=A1A.

∵C1D∥=A1A,∴EF∥=C1D,则四边形EFDC1为平行四边形,∴DF∥C1E.

∵C1E⊄平面A1BD,DF⊂平面A1BD,∴C1E∥平面A1BD.

(2)取BC的中点H,连接AH,B1H,

由正三棱柱ABC-A1B1C1,知AH⊥BC,

∵B1B⊥平面ABC,∴B1B⊥AH.∵B1B∩BC=B,∴AH⊥平面B1BCC1.∴AH⊥BD.

在正方形B1BCC1中,∵tan∠BB1H=tan∠CBD=,∴∠BB1H=∠CBD.则B1H⊥BD.

∵AH⊥∩B1H=H,∴BD⊥平面AHB1.∴BD⊥AB1

在正方形A1ABB1中,∵A1B⊥AB1.而A1B∩BD=B,∴AB1⊥平面A1BD.

(3)∵E为AB的中点,∴

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