热门试卷

解：（Ⅰ）∵平面PCBM⊥平面ABC，AC⊥BC，AC⊂平面ABC，

∴AC⊥平面PCBM．

又∵BM⊂平面PCBM，

∴AC⊥BM．

（Ⅱ）取BC的中点N，则CN=1．连接AN、MN．

∵平面PCBM⊥平面ABC，平面PCBM∩平面ABC=BC，PC⊥BC．

∴PC⊥平面ABC．

∵PM∥CN，∴MN∥PC，从而MN⊥平面ABC．

作NH⊥AB于H，连接MH，则由三垂线定理知AB⊥MH．

从而∠MHN为二面角M-AB-C的平面角．

∵直线AM与直线PC所成的角为60°，

∴∠AMN=60°．

在△ACN中，由勾股定理得．

在Rt△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=．

在Rt△BNH中，NH=BN•sin∠ABC=BN•．

在Rt△MNH中，tan∠MHN=

故二面角M-AB-C的大小为．

（Ⅱ）如图以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．

设P（0，0，z0）（z0＞0），有B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，z0）．，

由直线AM与直线PC所成的角为60°，得

即，解得．

∴，

设平面MAB的一个法向量为，则

由，取，得

取平面ABC的一个法向量为

则=

由图知二面角M-AB-C为锐二面角，

故二面角M-AB-C的大小为．

（Ⅲ）多面体PMABC就是四棱锥A-BCPM．

解：（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B（2，0，0），M（0，2，h），A1（0，0，4），C（0，2，0）（2分）

，（2分）

由BM⊥A1C得，，即2×2-4h=0

解得h=1（2分）

（2）由题意知，平面ABC的一个法向量为，（2分）

因为直线AM与平面ABC所成的角为，所以解得h=2（2分）

三棱锥M-ABC的体积

三棱柱ABC-A1B1C1体积V=S△ABC•CC1=8（2分）

所以多面体ABM-A1B1C1的体积（2分）

解：四边形EFGH是等腰梯形；理由如下：

如图

∵已知正方体ABCD-A1B1C1D1中E，F，G，H分别为AA1，CC1，C1D1，D1A1的中点，

∴EF∥A1C1∥HG，

∴EF∥HG，HG=EF，

又△A1EH≌△C1FG，

∴EH=FG，

∴四边形EFGH是等腰梯形．

解：（1）过E作EB1⊥BF，垂足为B1，则BB1=AE=5（cm），

所以B1F=8-5=3（cm）．

因为平面ABFE∥平面DCGH，EF和HG是它们分别与截面的交线，所以EF∥HG．

过H作HC1⊥CG，垂足为C1，

则GC1=FB1=3（cm），

DH=12-3=9（cm）．

（2）作ED1⊥DH，垂足为D1，B1P⊥CG，垂足为P，连接D1P，B1C1，则几何体被分割成一个长方体ABCD-EB1PD1，一个斜三棱柱EFB1-HGC1，一个直三棱柱EHD1-B1C1P．从而几何体的体积为

V=3×4×5+×3×4×3+×3×4×4=102（cm3）．

（3）是菱形．

证明：由（1）知EF∥HG，同理EH∥FG．于是EFGH是平行四边形．

因为EF===5（cm），

DD1=AE=5（cm），ED1=AD=3（cm），

HD1=4（cm），

所以EH==．=5（cm）．

所以EF=EH．

故EFGH是菱形．