- 空间几何体
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正确答案
24
解析
解：
且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6
∴V四棱锥P-ABCD=
∵棱长为12的正方体体积为12×12×12=1728
∵
故答案为24
若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为
正确答案
解析
解：设高为h，则由
故选B．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：把正三棱锥沿SB剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形：△SBC、△SCA、△SAB′，
则∠B′SA=∠BSC=∠ASC=30°，
连接BB′，交SC于F，交SA于E，则线段BB′就是△BEF的最小周长，
又SB=SB′=a，根据勾股定理，SB2+SB′2=BB′2=2a2，
所以
故选A．
正确答案
5
解析
三者比较得5是从点A沿表面到C1的最短距离，
∴最短距离是5．
故答案为：5．
若一个三棱锥的一条棱长为x，其余棱长为2，则x的取值范围是（ ）
A（0，
B（0，
C（0，
D（
正确答案
解析
DC=x，
取AB的中点O，连接DO，CO，
则CO⊥AB，DO⊥AB，
CO=DO=
∵△ODC中，OD，OC两边之差小于第三边DC，OD，OC两边之和大于第三边DC，
∴0＜x＜2
故选C．
①P点在线段BD上运动，棱锥P-AB1D1体积不变；
②P点在线段BD上运动，直线AP与平面AB1D1所成角不变；
③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；
④一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；
⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面AB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长先增大，后减小．
正确答案
①③
解析
解：①中，BD∥B1D1，B1D1⊂平面AB1D1，BD⊄平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1，又P∈BD，∴棱锥P-AB1D1体积不变是正确的；
②中，P点在线段BD上运动，直线AP与平面AB1D1所成角先变大后变小，∴不变是错误的；
③中，一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形，是正确的；
④中，一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则可能是平行四边形，或梯形；∴必为平行四边形是错误的；
⑤中，截面α在平面AB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长不变，∴先增大，后减小是错误的；
故答案为：①③．．
若一个n面体中共有m个面是直角三角形，则称这个n面体的“直度”为
正确答案
解析
解：∵四棱锥有5个面组成，
∴n=5，
当四棱锥的底面是矩形，一条侧棱与底面垂直时，
四棱锥的4个侧面都是直角三角形，
∴m=4，
∴四棱锥“直度”的最大值为
故答案为：
正确答案
①②⑤
解析
原来的六个面还在只不过是变成了一个小正方形，再添了八个顶点各对应的一个三角形的面，所以总计6+8=14个面，故③错；
每个正方形4条边，每个三角形3条边，4×6+3×8=48，考虑到每条边对应两个面，所以实际只有
所有的顶点都出现在原来正方体的棱的中点位置，
原来的棱的数目是12，所以现在的顶点的数目是12．
或者从图片上可以看出每个顶点对应4条棱，每条棱很明显对应两个顶点，所以顶点数是棱数的一半即12个．①正确；
三角形和四边形的边长都是
表面积（3+
体积为原正方形体积减去8个三棱锥体积，每个三棱锥体积为8×
故答案为：①②⑤．
三棱锥P-ABC的高|PO|=
正确答案
解析
解：如图
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°
设此三角形的内切圆半径为r，
则由△ACB的面积等于△OAB，△OAC，△OBC的面积之和得
∴r=1
设切点为D、E、F
则由三垂线定理知：PD、PE、PF分别为三棱锥三个侧面的斜高
∵在直角三角形POD中，|PO|=
∴|PD|=
同理|PE|=3，|PF|=3
∴Q点在底边上，且斜高PQ的数值为3，这样的Q点最多有3个，分别位于D、E、F的位置
故选B
正确答案
解析
解：根据正方体的展开图特征，阴影部分的五个正方形复原正方体，可知后面无盖，
只能是②③使之成为封闭的正方体．
故第六个正方形可以是③，也可以是②，
故选A．
平行六面体ABCD-A1B1C1D1中AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：平行六面体
∵∠BAA1=∠DAA1=60°
∴A1在平面ABCD上的射影必落在直线AC上，
∴平面ACC1A1⊥平面ABCD，
∵AB=1，AD=2，AA1=3，
∵
=
∴|
=|
=1+9+4+0+2×1×3×
∴|
∴AC1等于
故选：B．
正确答案
解：由三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=
VABC-A1B1C1=S△ABC•AA1
=
VB-ADEC=
=
此容器最多能盛水：VABC-A1B1C1-VB-ADEC=7.5（L）．（4分）
解析
解：由三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=
VABC-A1B1C1=S△ABC•AA1
=
VB-ADEC=
=
此容器最多能盛水：VABC-A1B1C1-VB-ADEC=7.5（L）．（4分）
A
B
C20
D
正确答案
解析
解：∵将长方体分成的三部分均为棱柱，且高均为5，故V1：V2：V3=S△AA1E：SA1E1BE：S△AA1E=1：3：1
∵△AA1E与四边形A1E1BE有等高4，故AE：EB=2：3，∵AB=10，∴AE=4，∴A1E=
∴截面A1EFD1的面积为EF×A1E=5×4
故选C
A[2
B[2
C[3
D[3
正确答案
解析
解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2
∴正方体的对角线长为6，
∵x∈[1，5]，
∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得
∴t=
x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2
∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3
故选D．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵
∴
即
=1+0-3×1×cos60°+0+1-3×1×cos60°-（3×1×cos60°+3×1×cos60°-9）；
=1-
∴A1C=
故选A．
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