- 空间几何体
- 共15406题
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PAE；
③BC∥平面PAE；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°．
正确答案
②④
解析
解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴①不成立；
∵PA⊥平面ABC，AE⊥AB，∴平面PAB⊥平面PAE，故②成立；
∵BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，即③不成立．
在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故④成立．
故答案为：②④．
将一个直三棱柱分割成三个三棱锥，试将这三个三棱锥分离．
正确答案
解：如右图直三棱柱ABC-A′B′C′，连接A′B，B‘C，CA′．
则截面A′CB与面A′CB′，将直三棱柱分割成三个三棱锥即A′-ABC，A′-BCB′，C-A′B′C′．
解析
解：如右图直三棱柱ABC-A′B′C′，连接A′B，B‘C，CA′．
则截面A′CB与面A′CB′，将直三棱柱分割成三个三棱锥即A′-ABC，A′-BCB′，C-A′B′C′．
在△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一点P到三顶点A，B，C的距离都是14，则P到平面ABC的距离是（ ）
正确答案
解析
解：作PO⊥平面ABC，交平面于O点，∵PA=PB=PC，OA=OB=OC，
斜线相等，射影也相等．O点为三角形ABC外心，
在三角形ABC中，据余弦定理，BC=21，再据正弦定理，
在Rt△AOP中OP2=PA2-OA2，解之OP=7．
故选B．
正三棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则它的高h=______．
正确答案
解析
解：如图，在正三棱锥P-ABC中，底面边长AB=2，侧棱长PA=3，
设顶点P在底面的射影为O，连接CO并延长，交AB与点D；
连接PD，则CD⊥AB，PD⊥AB；
在正△ABC中，∵AB=2，∴CD=
OD=
PD=
∴PO=
故答案为：
（1）AD⊥PB；
（2）若E为PB边的中点，过三点A、D、E的平面交PC于点F，证明：F为PC的中点．
正确答案
证明：（1）取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，
∴PM⊥AD，
又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，
∴三角形ABD是等边三角形，
∴AD⊥BM，
∴AD⊥平面PBM，
∴AD⊥PB（7分）；
（2）∵底面ABCD是菱形，
∴AD∥BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
AD⊂平面ADFE，平面ADFE∩平面PBC=EF，
∴AD∥EF，
∵AD∥BC．
∴BC∥EF，
又E为PB的中点，故F为PC的中点． （14分）
解析
证明：（1）取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，
∴PM⊥AD，
又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，
∴三角形ABD是等边三角形，
∴AD⊥BM，
∴AD⊥平面PBM，
∴AD⊥PB（7分）；
（2）∵底面ABCD是菱形，
∴AD∥BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
AD⊂平面ADFE，平面ADFE∩平面PBC=EF，
∴AD∥EF，
∵AD∥BC．
∴BC∥EF，
又E为PB的中点，故F为PC的中点． （14分）
正确答案
①②
解析
解：把四面体的底面固定不动，沿三条侧棱剪开，展在平面上，即得①，
把四面体的底面和相邻的一个侧面的棱不剪，其余的棱剪开，展开在一个平面上，得到②，
但不论怎么展开，展开图不会是③和④，
故答案为：①②．
（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？
（2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？
（3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？
正确答案
解：（1）当E，F，G，H满足
不妨以E，F，G，H分别为所在边的中点，证明如下：
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH
从而EH綊FG，所以四边形EFGH为平行四边形．
（2）当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC时，可得AC∥EF，BD∥FG，所以EF⊥FG，所以平行四边形EFGH为矩形．
（3）当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC，可得AC∥EF，BD∥FG，所以EF⊥FG，所以平行四边形EFGH为矩形，AC=BD时
EF=FG，四边形EFGH为正方形．
解析
解：（1）当E，F，G，H满足
不妨以E，F，G，H分别为所在边的中点，证明如下：
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH
从而EH綊FG，所以四边形EFGH为平行四边形．
（2）当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC时，可得AC∥EF，BD∥FG，所以EF⊥FG，所以平行四边形EFGH为矩形．
（3）当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC，可得AC∥EF，BD∥FG，所以EF⊥FG，所以平行四边形EFGH为矩形，AC=BD时
EF=FG，四边形EFGH为正方形．
在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
SO⊥平面ABC，SA与SO的平面与平面SBC垂直，
球与平面SBC的切点在SD上，球与侧棱SA没有公共点
所以正确的截面图形为B选项
故选B．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为底面ABCD上一动点，如果P到点A1的距离等于P到直线CC1的距离，那么点P的轨迹所在的曲线是（ ）
正确答案
解析
解：P到点A1的距离等于P到直线CC1的距离（可转化为P到点C的距离），即可转化为在空间到俩定点距离相等的点在中垂面上，所以两面的交线为直线，
故选A．
已知一个三棱锥与一个四棱锥，他们的所有长棱长都相等，现把这个三棱锥的一个面重合在四棱锥的一个侧面上，则这个组合体可能是（ ）
正确答案
解析
解：这个组合体为一斜三棱柱
如图三棱锥为S-AED，正四棱锥为S-ABCD，重合的面为△ASD，
设AD，BC中点分别为M、N，
由题意知AD⊥ME，AD⊥MS，AD⊥MN
又ME∩MS=M，MN∩MS=M
∴AD⊥面MNS，由AD⊥面MES，且面MNS∩面MES=MS
∴面MNS与面MES重合
又∵SE=AB=MN，EM=SN，
∴MNSE为平行四边行
又MN∥AB
∴AB∥SE
∴四边形ABSE为平行四边形，四边形CDES为平行四边形
∴SC∥DE，SB∥AE
又SC∩SB=S，AE∩DE=E
∴面SBC∥面EAD
又AB=SE=CD，AB不垂直于面SBC
∴组合体为斜三棱柱
故选B
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题：
①（
②
③
④正方体的体积为|
其中正确的命题的序号是______．
正确答案
①③
解析
解：如图所示：
以点D为坐标原点，以向量
设棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），
对于①：
∴
∴
∴|
∴①正确；
对于②：
∴
∴②错误；
对于③：
∴
∴③正确；
对于④：
∵
∴④错误，
综上，正确的命题为：①③，
故答案为：①③．
一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ ）
A2
B3
C1
D
正确答案
解析
解：设球的半径为：r，由正四面体的体积得：
4×
所以r=
设正方体的最大棱长为a，
∴3a2=（
∴a=
故选D．
一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，求该三角形的斜边长．
正确答案
则EG=
即该三角形的斜边长为2
解析
则EG=
即该三角形的斜边长为2
①多面体O-ABC是正三棱锥；
②直线OB∥平面ACD；
③直线AD与OB所成的角为45°；
④二面角D-OB-A为45°．
其中真命题有______（写出所有真命题的序号）．
正确答案
①③④
解析
∴△ABC为等边三角形，
又∵OA、OB、OC两两垂直，
∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC，
过O作底面ABC的垂线，垂足为N，
连接AN交BC于M，
由三垂线定理可知BC⊥AM，
∴M为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，
∴N为底面△ABC中心，
∴O-ABC是正三棱锥，故A正确．
②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．
则②不正确，
③直线AD与OB所成的角为45°；
④二面角D-OB-A为45°．
命题③④显然成立．
故答案为：①③④．
设点P与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AD、BC、C1D1所在直线的距离相等，则点P的轨迹是（ ）
正确答案
解析
解：到直线AD和BC距离相等的点在过AB、CD、A1B1、C1D1中点的平面α上，
由于C1D1⊥平面α，∴P到直线C1D1的距离就等于P到其中点F的距离．
因此只要让点P满足到点F与到直线AD（或BC）的距离相等即可，
符合抛物线的定义，
故选C
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