- 空间几何体
- 共15406题
在下列命题中正确命题的个数是（ ）
（1）平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形；
（2）平行于圆台某一母线的截面是等腰三角形；
（3）过圆锥顶点的截面是等腰三角形；
（4）过圆台上底面中心的截面是等腰三角形．
正确答案
解析
解：（1）平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形，不正确；
（2）平行于圆台某一母线的截面是等腰三角形，可能是四边形，不正确；
（3）过圆锥顶点的截面是等腰三角形；正确；
（4）过圆台上底面中心的截面是等腰三角形，是等腰梯形．不正确．
故选D．
一个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形的两条对角线与这个截面平行，那么此四个交点围成的四边形是______．
正确答案
平行四边形
解析
由平面EFGH∥BD，
∴EF∥BD，HG∥BD；
EF∥HG；
由平面EFGH∥AC，
∴EH∥AC，FG∥AC，
∴EH∥FG；
则四边形EFGH为平行四边形，
故答案为：平行四边形．
正确答案
解：设正方形ABCD的边长为1，可得
图Ⅰ旋转所得旋转体为以AB为轴的圆锥体，高AB=1且底面半径r=1
∴该圆锥的体积为V1=
图II旋转所得旋转体，是以AB为半径的一个半球，减去图Ⅰ旋转所得圆锥体而形成，
∴该圆锥的体积为V2=
图III旋转所得旋转体，是以AB为轴的圆柱体，减去图II旋转所得半球而形成，
∴该圆锥的体积为V3=π×AD2×AB-V半球=π-
综上所述V1=V2=V3=
由此可得图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比为1：1：1．
解析
解：设正方形ABCD的边长为1，可得
图Ⅰ旋转所得旋转体为以AB为轴的圆锥体，高AB=1且底面半径r=1
∴该圆锥的体积为V1=
图II旋转所得旋转体，是以AB为半径的一个半球，减去图Ⅰ旋转所得圆锥体而形成，
∴该圆锥的体积为V2=
图III旋转所得旋转体，是以AB为轴的圆柱体，减去图II旋转所得半球而形成，
∴该圆锥的体积为V3=π×AD2×AB-V半球=π-
综上所述V1=V2=V3=
由此可得图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比为1：1：1．
设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心，其中正确命题的命题是______．
正确答案
①②③④
解析
解：①若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PH⊥底面ABC，所以AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
②若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，容易推出△PHA≌△PHB≌△PHC，则PA=PB=PC；正确．
设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，则H是△ABC的外心，正确．
故答案为：①②③④
无论以下列图形的哪一条边所在直线为旋转轴，旋转所成曲面围成的几何体名称不变的是（ ）
正确答案
解析
解：矩形，无论以哪一条边所在直线为旋转轴，旋转所成曲面围成的几何体，都是圆柱，
故选：B．
正确答案
解析
所求的折线长度的最小值就是线段AQ的长度，
令∠PAB=θ，则 θ=60°，
在展开图中，AQ=
故答案为 
圆锥轴截面的顶角θ满足
A
B
C
Dπ＜α＜
正确答案
解析
解：设圆锥母线长为R，底面圆的半径为r，
则r=Rsin
即2πRsin
∵
∴π＜α＜
故选D．
将边长为2的正方形ABCD（O是正方形ABCD的中心）沿对角线AC折起，使得半平面ACD与半平面ABC成θ（0°＜θ＜180°）的两面角，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：
①不论θ取何值，总有AC⊥BD；
②当θ=90°时，△BCD是等边三角形；
③当θ=60°时，三棱锥D-ABC的体积是
其中正确的命题的序号是______．（把你认为正确的序号都填上）
正确答案
①②③
解析
解：过D作DO⊥AC于O，连接BO，由题意知：BO⊥AC，
∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BOD，∴AC⊥BD，
∴BD=1，即△BCD为等边三角形，②正确；
∵O为AC的中点，AB=BC，∴BO⊥AC，∴AC⊥平面BOD，BD⊂平面BOD，∴AC⊥BD，①正确；
∵VD-ABC=
故答案为：①②③．
若圆锥的主视图是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为______．
正确答案
解析
解：如图，
圆锥的底面半径为1，母线长为2，则高PO=
∴该圆锥的体积为V=
故答案为：
正确答案
4
解析
解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，
所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．
故答案为：4
当圆锥的侧面积和底面积的比值是
正确答案
解析
解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则
设轴截面顶角的一半为α，
则sinα=
故选C．
正四棱锥的高为
正确答案
∵正四棱锥S-ABCD中高OS=
∴在Rt△SOA中，OA=
∴AC=4．
∴AB=BC=CD=DA=2
∵作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高．
∴在Rt△SOE中，
∵OE=
∴SE=
解析
∵正四棱锥S-ABCD中高OS=
∴在Rt△SOA中，OA=
∴AC=4．
∴AB=BC=CD=DA=2
∵作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高．
∴在Rt△SOE中，
∵OE=
∴SE=
某圆锥的侧面展开图是半径为1cm的半圆，则该圆锥的体积是______cm3．
正确答案
解析
解：圆锥的底面周长是：π；
设圆锥的底面半径是r，则2πr=π．
解得：r=
所以高为
所以圆锥的体积是
故答案为：
正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面成45°角，则此四棱椎的侧面积为______．
正确答案
4
解析
解：∵正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面成45°角，
∴四棱锥的侧高为
则此四棱椎的侧面积S=4×
故答案为：4
用长、宽分别为a、b（a＞b）的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的体积为______．
正确答案
解析
解：若以长a的边为底面周长，则圆柱的高为h=b
则圆柱的底面周长a=2πr
∴r=
则圆柱的体积V=π•r2•h=
若以长b的边为底面周长，则圆柱的高为h=a
则圆柱的底面周长b=2πr
∴r=
则圆柱的体积V=π•r2•h=
故答案为：
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