- 空间几何体
- 共15406题
已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为______．
正确答案
解析
解：设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为θ
∵圆锥的底面半径为2，母线长为6，
∴θl=2πr，即6θ=2π•2
∴θ=
故答案为：
将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（ ）
正确答案
解析
解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，
故选：C．
三棱锥的三个侧面都是直角三角形，且三个直角的顶点恰是三棱锥的顶点，则其底面一定是（ ）
正确答案
解析
解：设三条侧棱的长度分别为a，b，c，
∵三棱锥的三个侧面都是直角三角形，且三个直角的顶点恰是三棱锥的顶点，
∴底面的三条边的平方分别为a2+b2，a2+c2，b2+c2，
∴a2+b2+a2+c2-（b2+c2）=2a2＞0，a2+b2+b2+c2-a2-c2=2b2＞0，b2+c2+a2+c2-b2-a2=2c2＞0，
根据余弦定理可知，底面的三个内角都是锐角，所以底面一定是锐角三角形；
故选C．
将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：
①△DBC是等边三角形；
②AC⊥BD；
③三棱锥D-ABC的体积是
其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号）
正确答案
①②
解析
又BC=DC=1
∴面DBC是等边三角形①正确．
∵AC⊥DO，AC⊥BO
∴AC⊥平面DOB
∴AC⊥BD
②正确．
三棱锥D-ABC的体积=
③不正确．
故答案为：①②
已知圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则此圆锥的体积为______（结果保留π）
正确答案
12π
解析
解：
∴圆锥的高h=
因此，圆锥的体积为
V=
故答案为：12π
正确答案
S3＜S2＜S1
解析
解：
∵OD是△BCD的BC边上的中线，
∴S△OBD=S△OCD=
即截面OAD将三棱锥O-ABC的体积分成两等分，可得S△OAD=S1，
∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥OB，OB⊥OC且OA⊥OC，
∵OB、OC是平面OBC内的相交直线，
∴OA⊥平面OBC，结合OD⊂平面OBC，得OA⊥OD．
∵Rt△OBC中，OB=b且OC=c，∴斜边BC=
因此S△OAD=
同理可得S2=
∵a＞b＞c＞0，
∴a2b2+a2c2＞a2b2+b2c2＞b2c2+a2c2，
可得
故答案为：S1＞S2＞S3
（1）当∠A=30°时，求此旋转体的体积；
（2）比较当∠A=30°、∠A=45°时，两个旋转体表面积的大小．
正确答案
解：（1）直角三角形ABC的斜边长AB=2，现以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体，是由两个圆锥组成的几何体，它们的底面半径为：
（2）由（1）可知几何体的表面积为：
∠A=45°时，旋转体表面积的大小为：
显然2
所以∠A=45°时，旋转体表面积的大．
解析
解：（1）直角三角形ABC的斜边长AB=2，现以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体，是由两个圆锥组成的几何体，它们的底面半径为：
（2）由（1）可知几何体的表面积为：
∠A=45°时，旋转体表面积的大小为：
显然2
所以∠A=45°时，旋转体表面积的大．
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②恒有平面A′GF⊥平面BCED；
③三棱锥A′-FED的体积有最大值；
④直线A′E与BD不可能垂直．
其中正确的命题的序号是______．
正确答案
①②③
解析
解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故①正确
由①知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故②正确
三棱锥A′-FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′-FED的体积有最大值，故③正确
当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④不正确
故正确答案①②③
三棱锥P-ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，AC=
正确答案
解析
则AM⊥PB，CM⊥PB．
故∠AMC为二面角A-PB-C的平面角．（9分）．
在△AMC中可得AM=CM=
∴∠AMC=60°，
则二面角A-PB-C的大小为60°，
故选D．
圆锥的侧面积是它的全面积的
正确答案
解析
解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由圆锥的侧面积S侧=πrl，
∵圆锥的侧面积是它的全面积的
∴底面积S底=
解出母线l=3r
设圆锥侧面展开图的圆心角为α，则α=
故答案为：
①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D，使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是（ ）
正确答案
解析
解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，
∴AC=BC=
当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2
此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确
使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；
取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；
先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可
∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确
故选D
（文）已知一个圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积为______．
正确答案
解析
解：∵圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，
∴该圆柱的高h=4，
底面周长2πr=4，
底面半径r=
∴该圆柱的体积V=
故答案为：
（1）求证AF⊥BC
（2）求线段AF的长．
正确答案
解：（1）分别以AB、AC和AD为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
如图所示：
记A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，2），
∴E（
∴
∴
∴
即AF⊥BC；
（2）∵
∴|
即线段AB=
解析
解：（1）分别以AB、AC和AD为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
如图所示：
记A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，2），
∴E（
∴
∴
∴
即AF⊥BC；
（2）∵
∴|
即线段AB=
正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）
正确答案
解析
则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角，
∵AO=
∴cos∠PAO=
故选 C．
将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”．仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质（ ）
正确答案
解析
解：由于直角三角形具有以下性质：斜边的中线长等于斜边边长的一半，
故对于“直角三棱锥”，结合相似三角形的面积比等于相似比的平方可得以下性质：斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．
故选：B．
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