- 空间几何体
- 共15406题
每个顶点处棱都是3条的正多面体共有（ ）
正确答案
解析
解：正多面体只有5种，其中：正四面体、正六面体、正十二面体的每个顶点处棱都是3条．
正二十面体和正八面体的顶点处的棱数不都是3．
故选B．
（2015秋•蚌埠期末）用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1：4，截去的棱锥的高是3cm，则棱台的高是（ ）
正确答案
解析
解：∵截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为L，
根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，
则32：L2=1：4，
∴L=6，
故棱台的高是6-3=3
故棱台的高为：3cm，
故选：D
圆台的两底面半径分别是5cm和10cm，高为8cm，有一个过圆台两母线的截面沮上、下底面中心到截面与两底面的交线的距离分别为3cm和6cm，求截面面积．
正确答案
解：由题意知，截面为等腰梯形，
上底边长为2×
下底边长为2×
梯形的高为
故截面面积S=
解析
解：由题意知，截面为等腰梯形，
上底边长为2×
下底边长为2×
梯形的高为
故截面面积S=
正四棱台两底面边长分别为2和4．
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
正确答案
过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，
则C1F为正四棱台的斜高；
由题意知∠C1CO=45°，
CE=CO-EO=CO-C1O1=
在Rt△C1CE中，C1E=CE=
又EF=CE•sin 45°=1，
∴斜高C1F=
∴S侧=4×
（2）∵S上底+S下底=22+42=20，
∴S侧=4×
解得h斜高=
又EF=1，
∴高h=
解析
过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，
则C1F为正四棱台的斜高；
由题意知∠C1CO=45°，
CE=CO-EO=CO-C1O1=
在Rt△C1CE中，C1E=CE=
又EF=CE•sin 45°=1，
∴斜高C1F=
∴S侧=4×
（2）∵S上底+S下底=22+42=20，
∴S侧=4×
解得h斜高=
又EF=1，
∴高h=
已知正三棱台的上下底面边长分别为1和4，侧棱长为2，则此棱台的高为（ ）
正确答案
解析
则AC=
AB=2
所以BC=OO1=
故选A．
[理科]已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径均相等，且圆锥和圆柱的体积也相等，那么，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为______．
正确答案
解析
解：设圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径均是d，圆柱的高为h，
圆锥的体积为：
∵
圆锥的表面积为：
圆柱的表面积为：
圆锥的全面积与圆柱的全面积之比：
故答案为：
若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角的余弦值为
正确答案
16π
解析
解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，因为圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角的余弦值为
所以，πrl=20π，
所以圆锥的体积为：
故答案为：16π．
正确答案
2
解析
可得图中的AA‘的长即为截面△AEF周长的最小值，
∵∠AVB=∠BVC=∠CVA=30°，
∴∠AVA′=3×30=90°．
Rt△VAA′中，由勾股定理可得
AA'=
故答案为：2
正四棱台的上下底面边长分别是2和4，高是1，则它的斜高是______．它的体积是______表面积是______．
正确答案
20+12
解析
解：如图所示，M、N分别为上下底面的中心，取上下底面边的中点E、F，
则EF为侧面的斜高，作EP⊥底面，则P在NF上，
在Rt△EFP中，由勾股定理得，斜高EF=
V体积=
故答案为：
①当AB=AD时，判断直线SA与直线BD的位置关系（不要证明）；
②设E为SA的中点，G为△AOD的重心，求证：EG∥平面SDC；
③若圆锥SO侧面展开图示半径长为3，面积为3π的扇形，求圆锥SO的体积．
正确答案
①解：当AB=AD时，SA⊥BD．
∵ABCD是圆锥SO底面圆O的内接矩形，AB=AD，
∴BD⊥AC，BD⊥SO
∵SO∩AC=O，
∴BD⊥平面SAC，
∴SA⊥BD；
②证明：延长OG交AD于H，则H为AD中点，
连接EH，则在△SAD中，EH∥SD，
∵EH⊄平面SDC，SD⊂平面SDC，
∴EH∥平面SDC，
同理GH∥平面SDC，
∵EH∩GH=H，
∴平面EGH∥平面SDC，
∵EG⊂平面EGH，
∴EG∥平面SDC，
③设圆锥的底面半径长为r，母线长为l，则l=3，πrl=3π，
∴r=1，
∴圆锥SO的体积
解析
①解：当AB=AD时，SA⊥BD．
∵ABCD是圆锥SO底面圆O的内接矩形，AB=AD，
∴BD⊥AC，BD⊥SO
∵SO∩AC=O，
∴BD⊥平面SAC，
∴SA⊥BD；
②证明：延长OG交AD于H，则H为AD中点，
连接EH，则在△SAD中，EH∥SD，
∵EH⊄平面SDC，SD⊂平面SDC，
∴EH∥平面SDC，
同理GH∥平面SDC，
∵EH∩GH=H，
∴平面EGH∥平面SDC，
∵EG⊂平面EGH，
∴EG∥平面SDC，
③设圆锥的底面半径长为r，母线长为l，则l=3，πrl=3π，
∴r=1，
∴圆锥SO的体积
已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积为（ ）
A9
B9
C3
D3
正确答案
解析
解：∵圆锥的底面周长为6π，
∴圆锥的底面半径r=3；
双∵圆锥的母线长l=8，
圆锥的高h=
所以圆锥的体积V=
故选：C
正四棱台上，下底面边长为a，b，侧棱长为c，求它的高和斜高．
正确答案
解：如图：正四棱台ABCD-A′B′C′D′ 中，高h=OO‘=EK，斜高 h'=EF=DH，HD′=
斜高 h'=EF=DH=
高h=OO'=EK=
解析
解：如图：正四棱台ABCD-A′B′C′D′ 中，高h=OO‘=EK，斜高 h'=EF=DH，HD′=
斜高 h'=EF=DH=
高h=OO'=EK=
已知正三棱锥P-ABC中，M、N分别是AB和AP的中点，若MN⊥CN，则此正三棱锥的侧面积与底面ABC的面积之比为（ ）
A
B2
C
D
正确答案
解析
解：根据题意，画出图形，如图所示；
正三棱锥P-ABC中，M、N分别是AB和AP的中点，
且MN⊥CN，
连接CM、BN，过点N作NK⊥AB，垂足为K；
设AB=a，PA=b，
则MN=
MC=
∴NC2=MC2-MN2=
NK=
BK=
∴BN2=NK2+BK2=
∴
化简得b2=
∴
=
=3×
=3×
=3×
=
即此正三棱锥的侧面积与底面ABC的面积之比为
故选：C．
圆锥的高为h，底面半径为r，过两条母线作一截面，截得底面圆弧的
正确答案
解：∵圆锥的高为h，底面半径为r，
且过两条母线作一截面，截得底面圆弧的
∴∠AOB=90°，∴AB=
过点O作OM⊥AB于M，连接PM，
∴PM⊥AB，如图所示；
在Rt△POM中，OM=
∴PM=
∴截面△PAB的面积为
S=
解析
解：∵圆锥的高为h，底面半径为r，
且过两条母线作一截面，截得底面圆弧的
∴∠AOB=90°，∴AB=
过点O作OM⊥AB于M，连接PM，
∴PM⊥AB，如图所示；
在Rt△POM中，OM=
∴PM=
∴截面△PAB的面积为
S=
已知：扇形OAB的半径为12厘米，∠AOB=150°，若由此扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______厘米．
正确答案
5
解析
解：设这个圆锥底面圆的半径是rcm，则由题意可得圆锥底面的周长等于扇形的弧长，
即 2πr=
故答案为：5．
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