- 空间几何体
- 共15406题
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，给出下列四个命题：
①点E到平面ABC1D1的距离为
②直线BC与平面ABC1D1所称角为45°；
③空间四边形ABCD1在该正方体六个面内射影面积的最小值为
④正方体的所有棱中，与AB，CC1均共面的棱共有5条，
其中正确命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：∵EB1∥平面ABC1D1，
∴点E到平面ABC1D1的距离等于点B1到平面ABC1D1的距离，
∴点E到平面ABC1D1的距离为
故①不正确；
∵直线BC与平面ABC1D1所称角为∠CB1C1，
∴在Rt△CB1C1中，∠CB1C1=45°，
故②正确；
∵空间四边形ABCD1在该正方体上下面的射影面积为1，
空间四边形ABCD1在该正方体左右，前后的射影面积为
∴空间四边形ABCD1在该正方体六个面内射影面积的最小值为
故③正确；
∵正方体的所有棱中，与AB，CC1均共面的棱共有5条，其中有BB1，D1C1，DC，AA1，BC，
∴④正确，
故选：C
正确答案
解析
过O分别作与SA、SB、SC平行的平面交三棱锥的侧棱，侧面于如图所示的点，
得到的图形是以SO为对角线的长方体，
则cos2α+cos2β+cos2γ=
所以sin2α=1-cos2α=cos2β+cos2γ≥2cosβcosγ．
同理sin2β≥2cosαcosγ，sin2γ≥2cosαcosβ．
则sin2α•sin2β•sin2γ≥8cos2α•cos2β•cos2γ．
所以
故答案为
正方体ABCD-A1B1C1D1的面BCC1B1内有一点M，满足M到点B的距离等于点M到面CDD1C1的距离，则点M的轨迹是（ ）
正确答案
解析
解：由已知点M到面CDD1C1的距离就是M到棱CC1的距离，即M到定点的距离等于到定直线的距离相等，M是面BCC1B1内有一点，
所以M的轨迹是抛物线的一部分；
故选：D．
已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为2，底面边长为1，平行四边形EFGH的四个顶点分别在棱AB、BC、CP、PA上，则
正确答案
解析
∵AC：EF=BC：BF，BP：FG=BC：FC
即1：EF=（a+b）：a，2：FG=（a+b）：b或1：FG=（a+b）：2b
=
=
∴
一个正四棱锥的底面面积为Q，则它的中截面（过各侧棱的中点的截面）的边长是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由棱锥的几何特征可得
棱锥的中截面与棱锥的底面是相似图形
且相似比为
则棱锥的中截面与棱锥的底面的面积之比为相似比的平方
又∵棱锥的底面面积是Q，
∴棱锥的中截面面积是
故选A．
A（1+2
B（2+
C（3+2
D（4+
正确答案
解析
解：拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面．
由于截面为矩形，长为a，宽为
所以拼成的几何体表面积为4×（
故选B．
（2014秋•北京校级期中）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是______．
正确答案
（0，
解析
∵AB=BC=CD=DA=BD=1，
∴|OA|=|OB|=
|
∴AC的取值范围是（0，
故答案为：（0，
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求证：平面BDGH∥平面AEF；
（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．
正确答案
解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）证明：在△CEF中，
∵G、H分别是CE、CF的中点，
∴GH∥EF，
又∵GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴GH∥平面AEF，
设AC∩BD=O，连接OH，在△ACF中，
∵OA=OC，CH=HF，
∴OH∥AF，
又∵OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，
∴OH∥平面AEF．
又∵OH∩GH=H，OH、GH⊂平面BDGH，
∴平面BDGH∥平面AEF．
（Ⅲ）由（Ⅰ），得 AC⊥平面BDEF，
又∵AO=
∴四棱锥A-BDEF的体积V1=
同理，四棱锥C-BDEF的体积V2=4．
∴多面体ABCDEF的体积V=8．
解析
解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）证明：在△CEF中，
∵G、H分别是CE、CF的中点，
∴GH∥EF，
又∵GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴GH∥平面AEF，
设AC∩BD=O，连接OH，在△ACF中，
∵OA=OC，CH=HF，
∴OH∥AF，
又∵OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，
∴OH∥平面AEF．
又∵OH∩GH=H，OH、GH⊂平面BDGH，
∴平面BDGH∥平面AEF．
（Ⅲ）由（Ⅰ），得 AC⊥平面BDEF，
又∵AO=
∴四棱锥A-BDEF的体积V1=
同理，四棱锥C-BDEF的体积V2=4．
∴多面体ABCDEF的体积V=8．
A7-
B27-6
C51-14
D14-2
正确答案
解析
解：以EF为直径在平面BCC1B1内做圆，该圆的半径为r=
再过H引BB1的垂线，垂足为G，连接GP，
则HP2=HG2+GP2，其中HG为棱长4，
因此当GP∥B1C1时，OG=3，此时GP取得最小值为3-
∴HP2=
即HP2的最小值为27-6
故选：B
已知点M是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，则过A，B，M三点的截面积是______．
正确答案
解析
解：AM=
AB=a，
由余弦定理，得
∴
∴过A，B，M三点的截面积S=
故答案为：
正确答案
解：建立空间直角坐标系，如图所示；
则D（0，0，0），A（a，0，0），
P（a-
∴
∴
∴
即AD⊥PQ．
解析
解：建立空间直角坐标系，如图所示；
则D（0，0，0），A（a，0，0），
P（a-
∴
∴
∴
即AD⊥PQ．
一个棱柱为正四棱柱的充要条件是（ ）
正确答案
解析
解：若底面是正方形，有相对的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面不垂直于底面，则棱柱为斜棱柱，故A不满足要求；
若底面是正方形，有相对的两个侧面是矩形，另外两个侧面是不为矩形的平行四边形，则棱柱为斜棱柱，故B不满足要求；
底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直，则底面为正方形，侧棱与底面垂直，此时棱柱为正四棱柱，故C满足要求；
各个面都是矩形的平行六面体，其底面可能不是正方形，故D不满足要求；
故选C
下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出△MNP为直角三角形的图形的序号是______．
正确答案
①④
解析
解：①∵NP⊥面AMN，MN⊂面AMN，
∴NP⊥MN，
∴△MNP为直角三角形
②根据正方体的几何性质得出△MNP为正三角形，
③设棱长为2，
根据正方体的边长得出MP=MN=
故∴△MNP不是直角三角形，
④设棱长为2，根据正方体的结合性质得：MN=
根据勾股定理可判断△MNP为直角三角形
故答案为：①④
其中正确结论的序号是______．
正确答案
134
解析
解：1：点E、F在棱A1C1上运动，由于EF的长度不变，
B到平面EFC的距离不变，所以三棱锥B-CEF的体积为定值；正确．
2：点P在直线B1C上运动时，平面A1C1D是确定的平面，
而直线A1P是动直线，所以直线A1P与平面A1C1D所成角的大小不变；这是错误的．
3：点P在直线B1C上运动时，因为直线AD1与平面A1B1CD是垂直的，
所以直线AD1与A1P所成角的大小是90°，是不变的；正确．
4：点M是底面ABCD所在平面上的一点，点M到直线CC1的距离，就是M到C的距离，
M到直线AD与直线CC1的距离相等，则M点的轨迹满足抛物线的定义；正确．
故答案为：1、3、4
斜棱柱的底面和侧面中，矩形的个数最多有_______．
正确答案
4
解析
解：∵斜棱柱的底面至多有两条边与侧棱垂直，且互为平行，
斜棱柱的侧面有最多有2个矩形
若底面也为矩形
此时斜棱柱的底面和侧面中，矩形的个数最多有2+2=4个
故答案为：4
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