- 空间几何体
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已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为l，动点P在正方体表面上且满足|PA|=|PC1|，则动点P的轨迹长度为（ ）
A3
B3
C3
D6
正确答案
解析
解：如图，分别以边D1A1，D1C1，D1D所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；
A（1，0，1），C1（0，1，0）；
若P点在正方形ABCD内，设P（x0，y0，1）；
∴由|PA|=|PC1|得：
∴
分别以边DA，DC为x′轴，y′轴建立平面直角坐标系；
直线
同理可求P点在其它平面上时P点的轨迹也是线段，且长度都为
∴动点P的轨迹长度为
故选B．
若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面（ ）
正确答案
解析
解：根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可能为中截面，可能为对角面，也可能为倾斜的截面，
不管哪种截面都过正方体的中心．
故选A
正确答案
60°
解析
解：还原正方体，连接ABC三个点，如图
因为是正方体，设棱长为1，则AB=AC=BC=
故答案为：60°．
过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）
正确答案
解析
解：三棱柱的底面三角形的一条边与侧面之间的线段有3条异面直线，这样3条底边一共有9对，上下底面共有18对．
上下两个底边三角形就有6对；侧面之间的一条侧棱有6对，侧面面对角线之间有6对．加在一起就是36对．
（其中棱对应的两条是体对角线和对面的面与其不平行的另一条对角线）．
故选D．
正确答案
解：取
∵多面体ABCD-A′B′C′D′是平行六面体，
且E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，
∴
=（
∴
由此可得E、F、G、H四点共面．
解析
解：取
∵多面体ABCD-A′B′C′D′是平行六面体，
且E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，
∴
=（
∴
由此可得E、F、G、H四点共面．
空间中一条线段在三视图中的长度分别为a，b，c，则该线段的长度为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意可知这条线段看作长方体的对角线，a，b，c，就是相邻三个面的对角线，
设长方体的三度为：x，y，z，所以x2+y2=a2，x2+z2=b2，z2+y2=c2；所以x2+y2+z2=
则线段的长度为：
故选B
已知在空间四边形ABCD中，O1、O2分别是面ABC、面ACD的重心，已知BD=a，若过O1O2且与BC平行的平面交平面ABD于EF，则EF=______．
正确答案
解析
解：∵在空间四边形ABCD中，O1、O2分别是面ABC、面ACD的重心，
∴
即
∵BD=a，
∴EF=
故答案为：
一个三棱锥的四个顶点均在直径为
A3
B
C
D
正确答案
解析
解：设三条弦长分别为x，2x，y，则：x2+（2x）2+y2=6，即：5x2+y2=6，设 
则这3条弦长之和=3x+y=
故选C．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB 的中点，给出如下三个结论：
①C1M⊥平面A1ABB1
②A1B⊥AM
③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论为______（填序号）
正确答案
①②③
解析
∴C1M⊥AA1，
∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，
∴C1M⊥A1B1，
∵AA1∩A1B1=A1，
∴C1M⊥平面ABB1A1，故①正确．
对于②：∵C1M⊥平面ABB1A1，AM⊂平面ABB1A1，
∴A1B⊥C1M，
∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=c1，
∴A1B⊥平面AC1M，
∵AM⊂平面AC1M，
∴A1B⊥AM，即②正确；
③：∵由题设得到AM∥B1N，C1M∥CN，
∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确．
故答案为：①②③．
三棱锥A的一个侧面与三棱锥B的一个侧面是全等的三角形，将这两个三角形重合，所得新多面体的面数是______．
正确答案
4或5或6
解析
解：如图中ABC都是正三角形；（1）中是正四面体；（2）中是五面体；（3）中是六面体；
新多面体的面数是4或5或6；
故答案为：4或5或6．
正确答案
解析
解：由题意，设正方体的棱长为1，建立坐标系，M（x，y，0），（0≤x≤1，0≤y≤1），则
∵直线C1D与直线C1M所成的角等于30°，
∴cos30°=
化简可得
∴点M的轨迹是椭圆的一部分，
故选：B．
将正方形折成正四棱柱的侧面，正方形的对角线AC被折成折线AEFGC，则∠EFG为定值，试求这个定值．
正确答案
空间图形中，过E在对角面上作EH⊥HD，垂足为H，EF、FG和HG和原来图形中的线段相等，
故GH=2，EF=FG=
在对角面上，由Rt△HEG中勾股定理得EG=
在等腰三角形FEG中，由余弦定理得：
cos∠GFE=
故∠GFE为定值且为
解析
空间图形中，过E在对角面上作EH⊥HD，垂足为H，EF、FG和HG和原来图形中的线段相等，
故GH=2，EF=FG=
在对角面上，由Rt△HEG中勾股定理得EG=
在等腰三角形FEG中，由余弦定理得：
cos∠GFE=
故∠GFE为定值且为
正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的侧面都是正方形，若底面边长为a，则截面A1DD1的面积为（ ）
A
B2a2
C
D
正确答案
解析
解：如图所示，
正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的侧面都是正方形，
且底面边长为a，则截面A1DD1是矩形A1ADD1，
它的面积为AD•A1A=2a•a=2a2．
故选：B．
如果一个立方体的体积在数值上等于V，表面积在数值上等于S，且V=S+1，那么这个立方体的棱长最接近（ ）
正确答案
解析
解：设正方体棱长为a，则体积=a3，表面积=6a2，
所以方程V=S+1表述为：
a3=6a2+1，即a3-6a2+1=0，设f（a）=a3-6a2+1，
利用计算器计算f（6）＜0，f（6.05）＞0，故a∈（6，6.05）
解上述方程得到，a约等于6.03．
故选：C．
将一个边长为10的大正方体的表面涂成红色后，再切成边长为1的小正方形，这些小正方形中至少有一面涂成红色的个数是______．
正确答案
488
解析
解：对照正方体，这些小正方体中至少有一面涂成红色，可分为：
①只有一面涂色，有6×（10-2）2=384个，
②有两面涂色，有8×12=96个，
③有三面涂色的，有8个．
则共有384+96+8=488个．
故答案为：488．
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