- 空间几何体
- 共15406题
正方体A1C中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，则正方体被截面BEFD分成大小两部分的体积之比V1：V2=______．
正确答案
17：7
解析
解：如图所示，设正方体的棱长AB=2，则
∴
故答案为
A10
B
C
D
正确答案
解析
∴（
=（ 
=42+32+32+2×4×3cos120°+2×4×3cos120°+2×3×3cos90°
=10．
∴AC1=
故选C．
（1）求证：四边形MNA1C1是梯形；
（2）求证：∠DNM=∠D1A1C1．
正确答案
证明：（1）连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是棱CD，AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN=
∴MN∥A1C1，且MN=
∴四边形MN A1C1是梯形．
（2）由（1）可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补，而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM=∠D1A1C1
解析
证明：（1）连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是棱CD，AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN=
∴MN∥A1C1，且MN=
∴四边形MN A1C1是梯形．
（2）由（1）可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补，而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM=∠D1A1C1
已知长方体的三条面对角线的长分别为5，4，x，则x的取值范围为______．
正确答案
解析
解：设长方体共一顶点的三条棱长分别为a，b，c，
由题意可得 
∴x2=41-2a2，
∵0＜a2＜42，
∴9＜x2＜41，
∴
故答案为：
已知长方体的侧面积为6，高为1，则长方体对角线长的最小值为 ______．
正确答案
解析
则2（a+b）×1=6，∴a+b=3
又对角线AC12=a2+b2+c2=1+a2+b2+≥1+
则长方体对角线长的最小值为
故答案为：
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，其中ABCD是正方形，AA1＞AB．设点A到直线B1D的距离和到平面DCB1A1的距离分别为d1，d2，则
正确答案
解析
解：设AB=a，AA1=b，由AA1＞AB得b＞a，
在RT△AB1D中，由三角形面积相等得，
点A到直线B1D的距离d1=
连接A1D，过A作AE⊥A1D，
由CD⊥平面ADD1A1得，CD⊥AE，又AE⊥A1B，则AE⊥平面DCB1A1，
所以AE为点A到平面DCB1A1的距离，
则d2=AE=
所以
设t=
设y=
当且仅当
因为0＜t＜1，函数y在（0，1）上是增函数，当t=1时，y=
所以1＜y＜
故答案为：
①AB与CD所在直线垂直；
②CD与EF所在直线平行；
③AB与MN所在直线成60°角；
④MN与EF所在直线异面．
正确答案
③④
解析
易得：AB与CD所在直线成60°角，CD与EF所在直线成60°角，
则①②错．
由于△ABF为正三角形，所以∠ABF=60°，
而MN∥BF，所以AB与MN成60°角，③对；
因MN与EF所在直线异面，④对．
故答案为：③④．
正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线AC1长为
正确答案
1
解析
解：设正方体的棱长为a，
则其对角线长b=
解得a=1
故答案为1
一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）
正确答案
解析
解：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱．
故A和B错在有可能是斜棱柱，
D错在上下底面有可能不是正方形，
底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面．
故选C．
有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记3的对面的数字为m，4的对面的数字为n，那么m+n的值为（ ）
正确答案
解析
解：经观察分析知，题图（1）、（2）中顶点A、B是同一条斜对交线的两个端点，结合题图（3）得3的对面为6，4的对面为2，∴m+n=8．
故选A．
正确答案
解析
解：过顶点A′与正方体其他顶点的连线与直线BC′成60°角的棱有A′C′、A′B，
共2条．
故选C．
在棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，E为底面BCD上一点，若E到三个侧面的距离分别为3，4，5，则以线段AE为直径的球的表面积为______．
正确答案
50π
解析
解：根据题意：点E到三个侧面的垂线与侧棱AB，AC，AD围成一个棱长为3、4、5的长方体，
则其外接球的直径即为AE且为长方体的体对角线．
∴2r=
∴r=
由球的表面积公式得：S=4πr2=50π
故答案为：50π．
下面关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．
其中，真命题的编号是 ______（写出所有真命题的编号）．
正确答案
②④
解析
解：①错，必须是两个相邻的侧面；
②正确；因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面；
③错，反例，可以是斜四棱柱；
④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．
故答案为：②④．
（2015•石家庄二模）三棱锥中有四条棱长为4，两条棱长为a，则a的取值范围为______．
正确答案
解析
有以下两种情况：如图，
①底面是边长为4的正三角形，三条侧棱长为4，a，a，此时a可以取最大值，
取BC的中点为D，连接AD、PD，则AD⊥BC，PD⊥BC
所以AD=
则
解得2＜a＜
②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为4，如图所示，
此时a＜2
综上可得，a的取值范围是
故答案为：
正确答案
解析
∵AC⊥BD，B1B⊥面ABCD，∴B1O⊥AC，
则B1O的长就是所求点B1到直线AC的距离．
在Rt△BB1O中，BB1=2，BO=
故答案为：
扫码查看完整答案与解析