- 空间几何体
- 共15406题
已知一圆锥的轴截面的一个底角为60°，则该圆锥侧面展开图的中心角为（ ）
A
B
Cπ
D
正确答案
解析
解：设圆锥的底面半径为r，由题意得
∴圆锥的母线长l=2r，
∵底面半径为r，可得圆锥的底面周长为2πr，
∴圆锥的侧面展开图的弧长为2πr，
设圆锥侧面展开图的圆心角为α，则
lα=2πr，即2rα=2πr，解之得α=π
故选：C
摆放在桌面上的三个半径为1的球两两相切，在桌面与三球之间的空间中再摆入一个小球与三球和桌面都相切，求小球的半径．
正确答案
解：设三个半径为1的球的球心分别为O1，O2，O3，
与桌面三个切点分别为A，B，C，如下图所示：
则三棱柱ABC-O1O2O3，是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱，
则小球球心O在底面ABC上的投影必为△ABC的中心H，
设小球半径为R，
在△AOH中，
AO=R+1，AH=
则OH=
又∵R+OH=1
解得R=
解析
解：设三个半径为1的球的球心分别为O1，O2，O3，
与桌面三个切点分别为A，B，C，如下图所示：
则三棱柱ABC-O1O2O3，是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱，
则小球球心O在底面ABC上的投影必为△ABC的中心H，
设小球半径为R，
在△AOH中，
AO=R+1，AH=
则OH=
又∵R+OH=1
解得R=
（1）其中EF∥A1D1．剩下的几何体是什么？截取的几何体是什么？
（2）若FH∥EG，但FH＜EG，截取的几何体是什么？
正确答案
解：（1）EF∥A1D1．把几何体的正面变为下面，即可得到剩下的几何体的形状，
是底面为五边形的直棱柱；
截取的几何体是底面为直角三角形的直三棱柱．
（2）若FH∥EG，但FH＜EG，
显然EF 与GH的延长线交于CC1的直线于一点，
构成一个三棱台，
所以截取的几何体是三棱台．
解析
解：（1）EF∥A1D1．把几何体的正面变为下面，即可得到剩下的几何体的形状，
是底面为五边形的直棱柱；
截取的几何体是底面为直角三角形的直三棱柱．
（2）若FH∥EG，但FH＜EG，
显然EF 与GH的延长线交于CC1的直线于一点，
构成一个三棱台，
所以截取的几何体是三棱台．
给出下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点的连线段；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；④球常用表示球心的字母表示．其中说法正确的是______．
正确答案
①③④
解析
解：根据球的定义直接判断①正确；②错误；；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；可以是小圆，也可能是大圆，正确；④球常用表示球心的字母表示．满足球的定义正确；
故答案为：①③④
一圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：结合几何体的实物图，不难发现几何体的变化规律，从最低点A开始增加缓慢，然后逐渐变大到B，然后增加逐渐变小到c，不是均衡增大的，所以A，B，C错误．
故选D．
一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1：h2：h=（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：如图，设正三棱锥P-ABE的各棱长为a，则四棱锥P-ABCD的各棱长也为a，DO=
于是
∴
故选B．
轴截面是等边三角形的圆锥，它的侧面展开图的圆心角等于______
正确答案
180°
解析
解：由题意圆锥的母线为：2r，底面半径为：r，圆锥的底面周长为2πr，
它的侧面展开图的弧长为：2πr，
所以它的侧面展开图的圆心角：
故答案为：180°
A
B
C
D
正确答案
解析
则圆锥的底面半径r=
∴圆锥的体积V=
∵V‘=
∴由导数的性质知，当h=
故选C．
正确答案
解：设圆柱的高为h，由题意可知，4（4r+2h）=9.6，
即2r+h=1.2，
s=2πrh+πr2=πr（2.4-3r）=3π[-（r-0.4）2+0.16]，其中0＜r＜0.6
∴当半径r=0.4m时，Smax=0.48π≈1.51（m2）
所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米．
解析
解：设圆柱的高为h，由题意可知，4（4r+2h）=9.6，
即2r+h=1.2，
s=2πrh+πr2=πr（2.4-3r）=3π[-（r-0.4）2+0.16]，其中0＜r＜0.6
∴当半径r=0.4m时，Smax=0.48π≈1.51（m2）
所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米．
正确答案
解析
解：设经过t s水深为h，∴9πt=
∴h=3•
∴h′=
令h=10，t=
∴h′=
即水面上升的速度为
故答案为
已知圆柱的体积是20πcm3，侧面积是40πcm2，那么圆柱的高是（ ）
正确答案
解析
解：设圆柱的底面半径为rcm，高为hcm，则
∵圆柱的体积是20πcm3，侧面积是40πcm2，
∴
解得r=1，h=20
即圆柱的高是20cm
故选B．
四面体ABCD中，面ABC与面BCD成600的二面角，顶点A在面BCD上的射影H是△BCD的垂心，G是△ABC的重心，若AH=4，AB=AC，则GH=______．
正确答案
解析
则AM是△ABC的中线，
∵AB=AC，∴AM⊥BC，
连结HM，则HM是AM在平面BCD上的射影；
∴根据三垂线逆定理，BC⊥HM，
∵H是△BCD的垂心，
∴GM在BC边上的高线DH上，即DM是BC边上的高，
∴DM是BC的垂直平分线，DB=DC，
∴∠AMD是二面角A-BC-D的平面角，
∴∠AMD=60°，
AM=
MH=
在△AMH上作GN∥AH，交MH于N，
根据三角形平行比例线段性质，
根据三角形重心的性质，
∵△MNG∽△MHA，
∴
∴GN=
同理，
∴MN=
∴NH=MH-MN=
在Rt△GNH中根据勾股定理，
GH2=GN2+NH2，
∴GH2=
∴GH=
故答案为：
正确答案
0＜
解析
就是：
故答案为：
正确答案
解：由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，
且圆锥的底面半径为2，高为2
所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面． （5分）
S圆锥的底面=4π，S圆锥侧=8π，S圆柱的侧=2
故所求几何体的表面积为：4π+8π+2
解析
解：由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，
且圆锥的底面半径为2，高为2
所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面． （5分）
S圆锥的底面=4π，S圆锥侧=8π，S圆柱的侧=2
故所求几何体的表面积为：4π+8π+2
若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为______．
正确答案
解析
解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，
因为4π=πl2，所以l=2，
半圆的弧长为2π，
圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，
所以圆锥的体积为：
故答案为：
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