- 空间几何体
- 共15406题
已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x2，0），D（x1，0），其中x2＞x1＞0，且y1x12-x1+y1=0，y2x22-x2+y2=0．若四边形ABCD是矩形，则此矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为______．
正确答案
解析
解：由题意，令y1=y2=m，x1，x2为方程mx2-x+m=0的两个不同实数解，
∴x1+x2=
矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱的体积V=πm2|x1-x2|=πm2•
∴m2=
故答案为：
一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h3，求h1：h2：h3的值．
正确答案
设为a，h2=h3，h1=
h2=
故h1：h2：h3=
解析
设为a，h2=h3，h1=
h2=
故h1：h2：h3=
正确答案
如图所示．
解析
如图所示．
下列命题中，正确命题的序号为______．
①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行；
②已知平面α，直线a和直线b，且a∩α=a，b⊥a，则b⊥α；
③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；
④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；
⑤三棱锥的四个面可以都是直角三角形．
正确答案
④⑤
解析
解：经过空间任意一点不都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行，
有时会出现其中一条直线在所做的平面上，故①不正确，
已知平面α，直线a和直线b，且a∩α=a，b⊥a，则b⊥α，
这种情况需要有另外一条和a相交的直线也与平面垂直结论才一定成立，故②不正确．
有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱，另外两个侧面也要垂直才成立，故③不正确
三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；④正确
三棱锥的四个面可以都是直角三角形．当底面是一个直角三角形，
在直角顶点处的侧棱与底面垂直，这时符合题意，故⑤正确，
故答案为：④⑤
圆锥底面半径为1 cm，高为
正确答案
得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示（2分）
设正方体棱长为x，则CC1=x，C1D1=
作SO⊥EF于O，则SO=
∵△ECC1～△EOS，∴
∴
解析
得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示（2分）
设正方体棱长为x，则CC1=x，C1D1=
作SO⊥EF于O，则SO=
∵△ECC1～△EOS，∴
∴
空间四边形两条对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，则连接各边中点所组成的四边形的面积为（ ）
A
B
C12
D
正确答案
解析
解：空间四边形两条对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，
则由三角形的中位线的性质可得连接各边中点所组成的四边形为平行四边形，
相邻的边长分别为3和4，且有一组内对角为45°，
故此四边形的面积等于 3×4×sin45°=6
故选B．
正确答案
解析
设两组相交平面的交线分别为m，n，
由m，n决定的平面为β，
作α与β平行且与四条侧棱相交，
交点分别为A1，B1，C1，D1
则由面面平行的性质定理得：
A1B1∥m∥D1C1，A1D1∥n∥B1C1，
从而得截面必为平行四边形．
由于平面α可以上下移动，则这样的平面α有无数多个．
故选D．
设四棱锥P-ABCD的底面ABCD是单位正方形，PB⊥底面ABCD且PB=
A
B
C
D
正确答案
解析
∵PB⊥面ABCD
∴PB⊥BD，PB⊥AD
在△PBD中，PB=
∴PD=
又∵AB⊥AD，且PB∩AB=B
∴AD⊥面PAB
∴AD⊥PA
∴△PAD是直角三角形
∴sinθ=
故选B
一个圆锥的轴截面（过旋转轴的截面）是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的表面积是 ______．
正确答案
3π
解析
解：一个圆锥的轴截面（过旋转轴的截面）是边长为2的等边三角形，所以圆锥的母线为：2；底面半径为：1；
圆锥的底面周长为：2π．
所以圆锥的表面积为：
故答案为：3π
一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数
正确答案
6
解析
解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与r2，
再设六面体中的正三棱锥A-BCD的高为h1，
八面体中的正四棱锥M-NPQR的高为h2，如图所示
则h1=
∵V正六面体=2•
又∵V正八面体=2•
即m=2，n=3，∴m•n=6．
故选A．
Rt△ABC的三边长分别是AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积和体积．
正确答案
连结CC'交AB于O，则CC'⊥AB
∵AC=3，BC=4，AB=5
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=
∴OC=2.4，
∴旋转体的体积=两个圆锥体积和=
旋转体的表面积=
解析
连结CC'交AB于O，则CC'⊥AB
∵AC=3，BC=4，AB=5
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=
∴OC=2.4，
∴旋转体的体积=两个圆锥体积和=
旋转体的表面积=
如果底面直径和高相等的圆柱的体积是V，则圆柱的侧面积是（ ）
A
B
Cπ
D
正确答案
解析
解：设圆柱的高为h，则底面半径为
∴π（
∴侧面积S=2π•
故选D．
三棱锥P-ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（ ）
A16
B
C
D32
正确答案
解析
解：∵PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．
∴16=PA2+PB2+PC2，又PA=2PB，∴5PB2+PC2=16，
设PB=
则这个三棱锥的三个侧棱长的和PA+PB+PC=3PB+PC=
则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为
故选B．
若一个正三棱台的侧梭长为5，上、下底面边长分别为4和10，则其斜高等于（ ）
A3
B4
C
D
正确答案
解析
解：如图所示，正三棱台的侧棱长AD=5，上、下底面边长分别为DE=4，AB=10，
连接上下底面的中心MN，则MN是棱台的高，
取EF的中点H，BC的中点P，连接PH，则PH是斜高；
∴DH=
∴DM=
∴MN=
又MH=
∴HP=
故选：B．
若棱台上下底面积分别为S1、S2（S1＜S2），则棱台的高与截得它的棱锥的高之比为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设棱台的高为h与截得它的棱锥的高H，则
即：
可得
故选A．
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