空间几何体_章节学习

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题型：填空题

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填空题

设某圆锥的底面的边界恰是球O的一个大圆，且圆锥的顶点也在球O的球面上，设球O的体积为V1，设该圆锥的体积为V2，则V1：V2=______．

正确答案

4：1

解析

解：设球O的半径为 r，球的体积V1 =，圆锥的高为r，圆锥的体积 V2 =π r2×r=，

∴==4，

故答案为 4：1．

1

题型：填空题

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填空题

已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为______（结果保留π）．

正确答案

12π

解析

解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h

∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，

∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3

因此，圆锥的高h==4

∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π

故答案为：12π

1

题型：简答题

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简答题

如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．

正确答案

解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：

圆台下底面、侧面和一半球面（3分）

S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π．

故所求几何体的表面积为：8π+35π+25π=68π （7分）

由，（9分）

（11分）

所以，旋转体的体积为（12分）

解析

解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：

圆台下底面、侧面和一半球面（3分）

S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π．

故所求几何体的表面积为：8π+35π+25π=68π （7分）

由，（9分）

（11分）

所以，旋转体的体积为（12分）

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题型：填空题

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填空题

如图所示，Rt△AOB绕直角边AO所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系O-xyz中，点B（2，0，0）和点E（0，2，-1）均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为 ______．

正确答案

解析

解：根据题意，OA为y轴，则圆锥的底面在XOZ平面上，

又有点B（2，0，0）在圆锥的母线上，则圆锥底面的半径为2，

故点（0，0，-2）是底面圆周与Z轴负半轴的交点，设为D点，

又有点E（0，2，-1）在圆锥的母线上，

分析可得，这条母线在XOY平面内，必过D、E两点，其余Y轴交与点（0，4，0）；

即圆锥的高为4，

由圆锥的体积公式可得，其体积为•π•4•22=π；

故答案为：π．

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题型：填空题

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填空题

已知圆锥曲线的母线长为5，底面圆半径为3，那么它的体积为______．

正确答案

12π

解析

解：∵圆锥的母线长l=5，底面圆的半径r=3，

∴圆锥的高h=4

因此，圆锥的体积为π×32×4=12π．

故答案为：12π．

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题型：单选题

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单选题

如图，定义八个顶点都在某圆柱的底面圆周上的长方体叫做圆柱的内接长方体，圆柱也叫长方体的外接圆柱．设长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为a，b，c（其中a＞b＞c），那么该长方体的外接圆柱侧面积的最大值等于（　　）

A

B

C

Dπabc

正确答案

A

解析

解：当ABCD在圆柱的底面上时，由题意可得AC等于圆柱的底面直径2r，圆柱的高等于c．

故2r=，故外接圆柱侧面积为 2πrc=πc ．

同理可得，当ABB1A1在圆柱的底面上时，外接圆柱侧面积为 πb；

当BCC1B1在圆柱的底面上时，外接圆柱侧面积为 πa．

令a=3，b=2，c=1，检验可得在 πc 、πb、πa 中，最大的是πa．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（　　）

A2

B2.5

C5

D10

正确答案

C

解析

解：设母线长为l，则S侧=π（1+3）l=4πl．

S上底+S下底=π•12+π•32=10π．

据题意4πl=20π即l=5，

故选C．

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题型：单选题

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单选题

如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：设圆柱高为h，则底面半径为．

由题意知，S=πh2，

∴h=，

∴V=π（）2•h=．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．

（1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求异面直线DE与CF所成的角；

（2）问此正子体的体积V是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出体积大小的取值范围．

正确答案

解：（1）分别以CA、DB为x、y轴建立空间直角坐标系．

因为AC=1，BD=1，

∴，，，

，，

因为异面直线所成角为锐角，

故异面直线DE与CF所成的角为60°

（2）正子体体积不是定值．

设ABCD与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，

设AA′=x（0≤x≤1），则AB′=1-x

故

．

解析

解：（1）分别以CA、DB为x、y轴建立空间直角坐标系．

因为AC=1，BD=1，

∴，，，

，，

因为异面直线所成角为锐角，

故异面直线DE与CF所成的角为60°

（2）正子体体积不是定值．

设ABCD与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，

设AA′=x（0≤x≤1），则AB′=1-x

故

．

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题型：单选题

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单选题

已知圆锥的母线长与底面半径长之比为3：1，一个正方体有四个顶点在圆锥的底面内，另外的四个顶点在圆锥的侧面上（如图），则圆锥与正方体的表面积之比为（　　）

Aπ：1

B3π：1

C3π：2

D3π：4

正确答案

D

解析

解：作出几何体的轴截面如图：

由题意设圆锥的底面半径为r，

则母线长l=3r，

则圆锥的高h=，设正方体的棱长为a，

由轴截面得，=，即=，解得3a=，

∴圆锥与正方体的表面积之比为（πr2+πrl）：6a2=4πr2：6a2=3π：4，

故选D．

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题型：单选题

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单选题

两个正方体M1、M2，棱长分别a、b，则对于正方体M1、M2有：棱长的比为a：b，表面积的比为a2：b2，体积比为a3：b3．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（　　）

A两个球

B两个长方体

C两个圆柱

D两个圆锥

正确答案

A

解析

解：设两个球的半径分别为R，r．

这两个球的半径比为：R：r，

表面积比为：4πR2：4πr2=R2：r2，

体积比为：：=R3：r3，

所以，两个球是相似体．

故选A．

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题型：填空题

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填空题

螺母是由______和______两个简单几何体构成的．

正确答案

正六棱柱

圆柱

解析

解：根据螺母的结构特征知，是由正六棱柱里面挖去的一个圆柱构成的，

故答案为：正六棱柱，圆柱．

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题型：单选题

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单选题

一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长l与底面半径r之间满足的关系式为（　　）

A

Bl=2r

Cl=r2

D

正确答案

B

解析

解：圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是l，

即圆锥的母线长是l，半圆的弧长是πl，

圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，

设圆锥的底面半径是r，

则得到2πr=πl，

则l与r的关系是l=2r，

故选B．

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题型：简答题

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简答题

把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长10cm．求：圆锥的母线长．

正确答案

解：设圆锥的母线长为l，圆台上、下底半径为r，R．

∵

∴

答：圆锥的母线长为cm．

解析

解：设圆锥的母线长为l，圆台上、下底半径为r，R．

∵

∴

答：圆锥的母线长为cm．

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题型：填空题

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填空题

△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，若该三角形绕边BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是______．

正确答案

16π

解析

解：△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，可得三角形是一个直角三角形，

若该三角形绕边BC旋转一周，则所形成的几何体是一个圆锥，其高为3，底面半径是4

故其体积为=16π

故答案为：16π．

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正确答案

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