- 空间几何体
- 共15406题
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小．
正确答案
（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD．
∵AP=BP，
∴PD⊥AB．
∵AC=BC，
∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD．
∵PC⊂平面PCD，
∴PC⊥AB．
∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PAC．
取AP中点E．连接BE，CE．
∵AB=BP，
∴BE⊥AP．
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arcsin
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC，AP=BP，
∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC．
∵AC∩BC=C，
∴PC⊥平面ABC．
∵AB⊂平面ABC，
∴PC⊥AB．
（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．
设P（0，0，t）．
∵|PB|=|AB|=2
∴t=2，P（0，0，2）．
取AP中点E，连接BE，CE．
∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，
∴CE⊥AP，BE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
∵E（0，1，1），
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arccos
解析
（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD．
∵AP=BP，
∴PD⊥AB．
∵AC=BC，
∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD．
∵PC⊂平面PCD，
∴PC⊥AB．
∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PAC．
取AP中点E．连接BE，CE．
∵AB=BP，
∴BE⊥AP．
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arcsin
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC，AP=BP，
∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC．
∵AC∩BC=C，
∴PC⊥平面ABC．
∵AB⊂平面ABC，
∴PC⊥AB．
（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．
设P（0，0，t）．
∵|PB|=|AB|=2
∴t=2，P（0，0，2）．
取AP中点E，连接BE，CE．
∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，
∴CE⊥AP，BE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
∵E（0，1，1），
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arccos
在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（ ）
正确答案
解析
解：如图所示，在平面ABD内，∵AE：EB=AF：FD=1：4，
∴EF∥BD．
∴EF∥平面BCD．
又在平面BCD内，
∵H，G分别是BC，CD的中点，
∴HG∥BD．∴HG∥EF．
又
在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，
∴四边形EFGH为梯形．
故选：B．
长方体ABCD-A1B1C1D1中截去一角B1-A1BC1，则它的体积是长方体体积的______．
正确答案
解析
解：设长方体的三度为：a，b，c，则长方体的体积为：abc，截去一角B1-A1BC1的体积为：
所以截去一角B1-A1BC1后的体积与长方体体积的比为：
故答案为：
正确答案
解析
解：过F作FG⊥AB，垂足为G，连接GE，
∵AD⊥AB，
∴AD∥FG，∴G为AB的中点，
∴FG=1，AG=1，
∵E为AC的中点，∴AE=1，∠BAC=θ，
∴EG=
∵AD⊥平面ABC，∴FG⊥平面ABC，
在Rt△FGE中，EF=
∵0
故答案是
正确答案
4
解析
解：如果一个三棱锥V-ABC中，侧棱VA⊥底面ABC，并且△ABC中∠B是直角．
因为BC垂直于VA的射影AB，所以VA垂直于平面ABC的斜线VB，
所以∠VBC是直角．
由VA⊥底面ABC，所以∠VAB，∠VAC都是直角．
因此三棱锥的四个面中∠ABC；∠VAB；∠VAC；∠VBC都是直角．
所以三棱锥最多四个面都是直角三角形．
故答案为：4
AF：FB=（ ）
正确答案
解析
解：设正方体的棱长为：2，由题意可知C1E=
∠C1EF=90°，所以设AF=x，12+x2+C1E2=22+22+（2-x）2
解得：x=
故选C．
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P使D1P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是______．
正确答案
（0，1]
解析
设AD=a（a＞0），AP=x（0＜x＜2），
则P（a，x，2），C（0，2，2），
∴
∵D1P⊥PC，∴
即a2+x（x-2）=0，a=
当0＜x＜2时，a∈（0，1]．
故答案为：（0，1]．
已知正三棱锥S-ABC，若点P是底面ABC内一点，且P到三棱锥S-ABC的侧面SAB、侧面SBC、侧面SAC的距离依次成等差数列，则点P的轨迹是（ ）
正确答案
解析
解：设点P到三个面的距离分别是d1，d2，d3，
因为正三棱锥的体积为定值，所以d1+d2+d3为定值，
因为d1，d2，d3成等差数列，所以d2为定值，
所以点P的轨迹是平行BC的线段．
故选A．
以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
正确答案
解析
解：正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个
不能组成四面体的4个顶点有，已有的6个面，对角面有6个
所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70-12=58个
故选C．
（1）证明A′E⊥B′D′；
（2）求AE的长．
正确答案
（1）证明：AA‘⊥平面A'B'C'D'，∴AA'⊥B'D'．
又AE⊥B'D'，∴B'D'⊥平面AA'E，
因此B'D'⊥A'E
（2）解：A'B'•A'D'=A'E•B'D'（都是△A'B'D'面积的2倍）
∴6×8=A'E×
∴A'E=4.8
∴AE=
解析
（1）证明：AA‘⊥平面A'B'C'D'，∴AA'⊥B'D'．
又AE⊥B'D'，∴B'D'⊥平面AA'E，
因此B'D'⊥A'E
（2）解：A'B'•A'D'=A'E•B'D'（都是△A'B'D'面积的2倍）
∴6×8=A'E×
∴A'E=4.8
∴AE=
若用长度分别为1，1，1，1，x，x的六根笔直的铁棒通过焊接其端点（不计损耗）可以得到两种不同形状的三棱锥形的铁架，则实数x的取值范围是______．
正确答案
（0，
解析
解：根据条件，四根长为1的直铁棒与两根长为x的直铁棒要组成三棱锥形的铁架，
有以下两种情况：
①底面是边长为1的正三角形，三条侧棱长为1，x，x，如图，
此时x应满足：∵AD=
∴
即x2＜2+
∴
②构成三棱锥的两条对角线长为x，其他各边长均为1，如图所示，
此时应满足0＜x＜
综上，x的取值范围是（0，
故答案为：（0，
圆锥的母线长为2cm，过顶点和底面圆心的截面面积为2cm2，则该圆锥的侧面积为（ ）
A
B2πcm2
C2
D4πcm2
正确答案
解析
解：因为圆锥的母线长为2cm，过顶点和底面圆心的截面面积为2cm2，
所以，
圆锥的底面半径为：
所以圆锥的侧面积：
故选C．
正确答案
18π
解析
解：∵矩形ABCD绕直线AB旋转一周，形成的几何体是一个圆柱；△ABD绕直线AB旋转一周，形成的几何体是一个圆锥
∴将△BCD绕直线AB旋转一周，形成一个圆柱减圆锥形状的几何体
由此可得该几何体的体积V=V圆柱-V圆锥=π×32×3-
故答案为：18π
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形且周长为定值；
（2）设PA与BC所成角为θ，求四边形EFGH的面积的最大值．
正确答案
（1）证明：∵PA∥平面EFGH，PA⊂平面PAB，平面PAB∩平面EFGH=EH
∴PA∥EH．同理可得PA∥GF，可得EH∥GF，
同理得到EF∥HG，
∴四边形EGFH中，两组对边分别平行，
因此，四边形EFGH为平行四边形．
∵空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．
且PA=BC=1，
∴
则①+②得，
∵PA=BC=1，∴EF+EH=1，
∴四边形EFGH的周长=2，故四边形EFGH的周长为定值．
2）∵PA与BC所成角为θ，
∴平行四边形EFGH中∠HEF=θ或180°-θ，
可得截面EFGH的面积S=HE•EF•sin∠EGE=HE•EF•sinθ，
设
∴EH=λPA=λ，同理可得EF=1-λ，且0＜λ＜1，
则S=λ（1-λ）sinθ≤
当且仅当
由此可得：当E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大，最大值为
解析
（1）证明：∵PA∥平面EFGH，PA⊂平面PAB，平面PAB∩平面EFGH=EH
∴PA∥EH．同理可得PA∥GF，可得EH∥GF，
同理得到EF∥HG，
∴四边形EGFH中，两组对边分别平行，
因此，四边形EFGH为平行四边形．
∵空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．
且PA=BC=1，
∴
则①+②得，
∵PA=BC=1，∴EF+EH=1，
∴四边形EFGH的周长=2，故四边形EFGH的周长为定值．
2）∵PA与BC所成角为θ，
∴平行四边形EFGH中∠HEF=θ或180°-θ，
可得截面EFGH的面积S=HE•EF•sin∠EGE=HE•EF•sinθ，
设
∴EH=λPA=λ，同理可得EF=1-λ，且0＜λ＜1，
则S=λ（1-λ）sinθ≤
当且仅当
由此可得：当E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大，最大值为
四面体ABCD中，点G1，G2，G3，G4分别是△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的重心．求证：AG1，BG2，CG3，DG4交于一点．
正确答案
∵G1，G2分别是△BCD，△ACD的重心，
连接BG2，AG1并延长，交CD于点E，在平面ABE中，设AG1∩BG2=M，则
连接DG1，AG4并延长交于N，在平面ADN中，设AG1∩DG4=M′，则
从而可得M，M′重合，即AG1，BG2，DG4交于一点M，
同理可得CG3过点M．
即AG1，BG2，CG3，DG4交于一点．
解析
∵G1，G2分别是△BCD，△ACD的重心，
连接BG2，AG1并延长，交CD于点E，在平面ABE中，设AG1∩BG2=M，则
连接DG1，AG4并延长交于N，在平面ADN中，设AG1∩DG4=M′，则
从而可得M，M′重合，即AG1，BG2，DG4交于一点M，
同理可得CG3过点M．
即AG1，BG2，CG3，DG4交于一点．
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